Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se T: V W é um isomorfismo, então dim V=dim W.

Passo 1

O enunciado pede para decidirmos se a afirmação
Se Tcolon V to W é um isomorfismo, então dim V = dim W éã
é verdadeira ou falsa. Aqui o conteúdo principal é a relação entre isomorfismos lineares e dimensão de espaços vetoriais, e vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão) para justificar.

Passo 2

Por definição, um isomorfismo linear Tcolon Vto W é um operador linear que é bijetivo, ou seja, é simultaneamente injetivo e sobrejetivo. O Teorema do Núcleo e Imagem nos diz que, para qualquer transformação linear Tcolon Vto W, vale
dim V ;=;diml(ker Tr);+;diml(imTr)

Passo 3

Como T é injetiva, temos ker T=0 e, portanto,
diml(ker Tr)=0
Como T é sobrejetiva, sua imagem é todo o espaço W, ou seja,
imT = W Longrightarrow diml(imTr)=dim W
Substituindo no Teorema do Núcleo e Imagem,
dim V ;=;0 ;+;dim W ;=;dim W

Resposta

Verdadeiro. Por injetividade dim(ker T)=0 e por sobrejetividade dim(imT)=dim W, logo dim V=dim W.

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