Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se
é um isomorfismo, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para decidirmos se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Aqui o conteúdo principal é a relação entre isomorfismos lineares e dimensão de espaços vetoriais, e vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão) para justificar.
Passo 2
Por definição, um isomorfismo linear
é um operador linear que é bijetivo, ou seja, é simultaneamente injetivo e sobrejetivo. O Teorema do Núcleo e Imagem nos diz que, para qualquer transformação linear
, vale
Passo 3
Como
é injetiva, temos
e, portanto,
Como
é sobrejetiva, sua imagem é todo o espaço
, ou seja,
Substituindo no Teorema do Núcleo e Imagem,
Resposta
Verdadeiro. Por injetividade
e por sobrejetividade
, logo
.