Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear
injetora.
Não existe uma transformação linear
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
que seja injetora. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Núcleo-Imagem (ou Teorema da Dimensão) aplicado a espaços vetoriais finito-dimensionais.
Passo 2
Vamos calcular as dimensões dos espaços envolvidos:
pois polinômios de grau
têm
coeficientes, e
pois matrizes
têm
entradas.
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo-Imagem, para toda transformação linear
vale
Passo 4
Como
, segue que
Logo
não é trivial e
não pode ser injetora.
Resposta
Verdadeiro.