Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear T: P4(R) M2(R) injetora.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
Tcolon P4(R)to M2(R)
que seja injetora. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Núcleo-Imagem (ou Teorema da Dimensão) aplicado a espaços vetoriais finito-dimensionais.

Passo 2

Vamos calcular as dimensões dos espaços envolvidos:
dim P4(R)=5
pois polinômios de grau <=4 têm 5 coeficientes, e
dim M2(R)=4
pois matrizes 2times2 têm 4 entradas.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo-Imagem, para toda transformação linear Tcolon Vto W vale
dim V = diml(ker Tr) + diml(ImTr)

Passo 4

Como diml(ImTr)<=dim W=4, segue que
diml(ker Tr) = dim V - diml(ImTr) >= 5 - 4 = 1
Logo ker T não é trivial e T não pode ser injetora.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados