Considere:
  • a matriz representa uma transformação linear em que e são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
  • a transformação linear tal que ,
    Verifique que . Para fazer isso, você deve determinar
e construir a matriz e comparar com .

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares. A primeira é
T:R^2to M2(R) cuja matriz em bases canônicas é
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0
A segunda é
S:M2(R)toR definida em quatro matrizes cujo valor de S é dado.
Queremos mostrar que
[Scirc T]gamma^alpha = [S]gamma^beta,[T]beta^alpha
Para isso vamos (1) calcular T(a,b), (2) achar a matriz de S na base beta, (3) compor e (4) comparar.

Passo 2

Usando a matriz de , para temos

Passo 3

Seja
As condições de
Da segunda equação vem . Substituindo na terceira:
Finalmente na primeira:
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Passo 4

Agora
(Scirc T)(a,b) = S!l(a & -b b & ar) = acdot4 +(-b)cdot1 +bcdot(-3) + acdot0 =4a -4b
Isto corresponde à matriz
[Scirc T]gamma^alpha = 4 & -4

Passo 5

Multiplicando
[S]gamma^beta,[T]beta^alpha = 4 & 1 & -3 & 0 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 = 4 & -4
que coincide com [Scirc T]gamma^alpha.

Resposta

As duas matrizes coincidem:
[Scirc T]gamma^alpha = 4 & -4 = [S]gamma^beta,[T]beta^alpha

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