Considere:
  • a matriz representa uma transformação linear em que e são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
  • a transformação linear tal que ,
    Determine a matriz sendo a base canônica de .

Passo 1

O enunciado fornece uma transformação linear
Scolon M2(R)toR
e dá quatro valores de S em matrizes específicas. As bases envolvidas são a base canônica beta=E11,E12,E21,E22 de M2(R) e a base canônica gamma=1 de R. Precisamos encontrar a matriz de S em relação a essas bases, ou seja, o vetor linha
[S]gamma^beta=l[S(E11);S(E12);S(E21);S(E22)r]

Passo 2

Como é linear, existe tais que, para qualquer

temos

Passo 3

Usamos os quatro valores dados para montar um sistema em a,b,c,d:
1. Sl(2&-11&2r)=4 Rightarrow
;2a - b + c + 2d = 4 2. Sl(0&30&-3r)=3 Rightarrow
;3b - 3d = 3;Longrightarrow;b - d = 1 3. Sl(1&11&1r)=2 Rightarrow
;a + b + c + d = 2 4. Sl(1&01&0r)=1 Rightarrow
;a + c = 1

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Da 2: ;b=d+1
  • Da 4: ;c=1 - a
  • Da 3: a + b + c + d =2 Rightarrow
    a + (d+1) + (1-a) + d = 2 Rightarrow 2d+1 = 1 Rightarrow d=0, então b=1
  • Da 1: 2a - b + c + 2d =4 Rightarrow
    2a -1 + (1-a) + 0 =4 Rightarrow a =4, logo c=1-4=-3

Passo 5

Os valores em cada vetor da base são:
S(E11)=a=4, S(E12)=b=1, S(E21)=c=-3, S(E22)=d=0
Portanto, a matriz de S é o vetor linha

Resposta

[S]gamma^beta = l[,4;;1;;-3;;0,r]

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