a matriz representa uma transformação linear em que e são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
a transformação linear tal que ,
Determine a matriz sendo a base canônica de .
Passo 1
O enunciado fornece uma transformação linear Scolon M2(R)toR
e dá quatro valores de S em matrizes específicas. As bases envolvidas são a base canônica beta=E11,E12,E21,E22 de M2(R) e a base canônica gamma=1 de R. Precisamos encontrar a matriz de S em relação a essas bases, ou seja, o vetor linha [S]gamma^beta=l[S(E11);S(E12);S(E21);S(E22)r]
Passo 2
Como é linear, existe tais que, para qualquer
temos
Passo 3
Usamos os quatro valores dados para montar um sistema em a,b,c,d:
1. Sl(2&-11&2r)=4Rightarrow ;2a - b + c + 2d = 42. Sl(0&30&-3r)=3Rightarrow ;3b - 3d = 3;Longrightarrow;b - d = 13. Sl(1&11&1r)=2Rightarrow ;a + b + c + d = 24. Sl(1&01&0r)=1Rightarrow ;a + c = 1
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da 2: ;b=d+1
Da 4: ;c=1 - a
Da 3: a + b + c + d =2Rightarrow a + (d+1) + (1-a) + d = 2Rightarrow2d+1 = 1Rightarrowd=0, então b=1
Da 1: 2a - b + c + 2d =4Rightarrow 2a -1 + (1-a) + 0 =4Rightarrowa =4, logo c=1-4=-3