Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear T: M2(R) R^5 sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
Tcolon M2(R) to R^5
que seja sobrejetora. O conteúdo envolvido é o cálculo de dimensões de espaços vetoriais e o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona dimensão do domínio, do núcleo e da imagem de uma aplicação linear.

Passo 2

Calcular as dimensões dos espaços:
– Em M2(R), uma matriz 2times2 tem quatro entradas independentes; logo
diml(M2(R)r)=4
– No espaço R^5 temos
diml(R^5r)=5

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer transformação linear Tcolon Vto W vale
diml(Im(T)r)<=dim(V)
Se T fosse sobrejetora, teríamos
diml(Im(T)r)=dim(W)=5,
o que exigiria 5 <= 4. Isso é impossível, pois dim(V)=4. Portanto não existe tal T sobrejetora.

Resposta

Verdadeiro.

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