Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear
sobrejetora.
Não existe uma transformação linear
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
que seja sobrejetora. O conteúdo envolvido é o cálculo de dimensões de espaços vetoriais e o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona dimensão do domínio, do núcleo e da imagem de uma aplicação linear.
Passo 2
Calcular as dimensões dos espaços:
– Em , uma matriz
tem quatro entradas independentes; logo
– Em
– No espaço
temos
Passo 3
Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer transformação linear
vale
Se
fosse sobrejetora, teríamos
o que exigiria
. Isso é impossível, pois
. Portanto não existe tal
sobrejetora.
Resposta
Verdadeiro.