Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se T: R^3 P2(R) é tal que N(T)=0 então o conjunto T(2,1,0), T(0,1,2), T(1,0,1) é um conjunto LI .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear
T:R^3to P2(R)
com núcleo trivial N(T)=0, e pergunta se o conjunto
T(2,1,0),,T(0,1,2),,T(1,0,1)
é linearmente independente. O conteúdo envolve transformações lineares, núcleo (injetividade) e preservação de independência linear.

Passo 2

Como N(T)=0, temos que T é injetora. Um fato padrão é:
se T é linear e injetora e v1,dots,vk é independente em R^n, então T(v1),dots,T(vk) é independente em P2(R).
Logo basta verificar que
v1=(2,1,0), v2=(0,1,2), v3=(1,0,1)
são independentes em R^3.

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3:
A= 2 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1
Calculamos o determinante:
det(A) =2cdotdet1 & 02 & 1 -0cdot(cdots) +1cdotdet1 & 10 & 2 =2cdot(1cdot1-0cdot2)+1cdot(1cdot2-1cdot0) =2+2=4neq0
Como det(A)neq0, os vetores v1,v2,v3 são LI em R^3.

Passo 4

Pela injetividade de T, a imagem de qualquer conjunto LI também é LI. Portanto
T(v1),T(v2),T(v3)=T(2,1,0),T(0,1,2),T(1,0,1)
é um conjunto linearmente independente em P2(R).

Resposta

Verdadeiro. Como N(T)=0 implica que T é injetora e os vetores (2,1,0),(0,1,2),(1,0,1) são independentes em R^3, suas imagens são independentes em P2(R).

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