Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se é tal que então o conjunto é um conjunto LI .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
com núcleo trivial , e pergunta se o conjunto
é linearmente independente. O conteúdo envolve transformações lineares, núcleo (injetividade) e preservação de independência linear.
Passo 2
Como , temos que é injetora. Um fato padrão é:
se é linear e injetora e é independente em , então é independente em .
Logo basta verificar que
Como det(A)neq0, os vetores v1,v2,v3 são LI em R^3.
Passo 4
Pela injetividade de T, a imagem de qualquer conjunto LI também é LI. Portanto T(v1),T(v2),T(v3)=T(2,1,0),T(0,1,2),T(1,0,1)
é um conjunto linearmente independente em P2(R).
Resposta
Verdadeiro. Como N(T)=0 implica que T é injetora e os vetores (2,1,0),(0,1,2),(1,0,1) são independentes em R^3, suas imagens são independentes em P2(R).