Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc5 & 12 & 30 -5 & -15 & -41 1 & 4 & 12] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre o polinômio característico desse operador e determine suas raízes. O que essas raízes são do operador?

Passo 1

O enunciado dá um operador linear TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base beta é
[T]beta^beta = 5 & 12 & 30 -5 & -15 & -41 1 & 4 & 12
Precisamos encontrar o polinômio característico de T, suas raízes e interpretar o que essas raízes representam.

Passo 2

O polinômio característico é dado por
chiT(lambda) = detl([T]beta^beta - lambda Ir) = det 5-lambda & 12 & 30 -5 & -15-lambda & -41 1 & 4 & 12-lambda

Passo 3

Expandimos esse determinante pela primeira linha (regra de Laplace):
chiT(lambda) = (5-lambda)det-15-lambda & -41 4 & 12-lambda -12det-5 & -41 1 & 12-lambda +30det-5 & -15-lambda 1 & 4

Passo 4

Calculamos os menores:
det-15-lambda & -414 & 12-lambda =(-15-lambda)(12-lambda)+41cdot4 =lambda^2+3lambda-16,
det-5 & -411 & 12-lambda =-5(12-lambda)+41 =5lambda-19,
det-5 & -15-lambda1 & 4 =-5cdot4-(-15-lambda) =lambda-5
Substituindo em chiT(lambda):
chiT(lambda) =(5-lambda)(lambda^2+3lambda-16) -12(5lambda-19) +30(lambda-5)

Passo 5

Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
(5-lambda)(lambda^2+3lambda-16) =-lambda^3+2lambda^2+31lambda-80,
-12(5lambda-19)=-60lambda+228, 30(lambda-5)=30lambda-150
Somando tudo:
chiT(lambda) =-lambda^3+2lambda^2+31lambda-80-60lambda+228+30lambda-150 =-lambda^3+2lambda^2+lambda-2
Multiplicando por -1:
chiT(lambda)=lambda^3-2lambda^2-lambda+2

Passo 6

Fatorando por agrupamento:
lambda^3-2lambda^2-lambda+2 =(lambda-2)(lambda^2-1) =(lambda-2)(lambda-1)(lambda+1)

Passo 7

As raízes do polinômio são
lambda=2, lambda=1, lambda=-1
Essas raízes são exatamente os autovalores (ou valores próprios) do operador T.

Resposta

chiT(lambda)=lambda^3-2lambda^2-lambda+2 =(lambda-2)(lambda-1)(lambda+1),
com autovalores lambda=2,1,-1.

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