Considere a matriz
que representa um operador linear
T: R^3 R^3 .
Encontre o polinômio característico desse operador e determine suas raízes. O que essas raízes são do operador?
Encontre o polinômio característico desse operador e determine suas raízes. O que essas raízes são do operador?
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base
beta é
Precisamos encontrar o polinômio característico de
T , suas raízes e interpretar o que essas raízes representam.
Passo 2
O polinômio característico é dado por
Passo 3
Expandimos esse determinante pela primeira linha (regra de Laplace):
Passo 4
Calculamos os menores:
Substituindo em
chiT(lambda) :
Passo 5
Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
Somando tudo:
Multiplicando por
-1 :
Passo 6
Fatorando por agrupamento:
Passo 7
As raízes do polinômio são
Essas raízes são exatamente os autovalores (ou valores próprios) do operador
T .
Resposta
com autovalores
lambda=2,1,-1 .