Considere a matriz que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre auto-vetores para T. É possível construir uma base para R^3 constituída apenas de autovetores de T ?
de um operador linear T:R^3toR^3. Precisamos encontrar vetores vneq0 tais que Av=lambda v (autovetores) e verificar se há 3 autovetores linearmente independentes (base de autovetores).
Passo 2
Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I).
A - lambda I = 5-lambda & 12 & 30 -5 & -15-lambda & -41 1 & 4 & 12-lambda
Desenvolvendo o determinante chega-se a
chi(lambda) = lambda^3 - 2lambda^2 - lambda + 2
Passo 3
Fatoramos chi(lambda). Testando lambda=1 verifica-se raiz, e
Dessas equações obtemos . Tomando para evitar frações, um autovetor é
Passo 5
Para
Dessas equações segue . Tomando , um autovetor é
Passo 6
Para
Dessas equações vem . Tomando , um autovetor é
Passo 7
Os três vetores v1, v2 e v3 correspondem a autovalores distintos, logo são linearmente independentes. Assim formam uma base de R^3 só de autovetores, e T é diagonalizável.