Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc5 & 12 & 30 -5 & -15 & -41 1 & 4 & 12] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre auto-vetores para T. É possível construir uma base para R^3 constituída apenas de autovetores de T ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = [T]beta^beta = 5 & 12 & 30 -5 & -15 & -41 1 & 4 & 12
de um operador linear T:R^3toR^3. Precisamos encontrar vetores vneq0 tais que Av=lambda v (autovetores) e verificar se há 3 autovetores linearmente independentes (base de autovetores).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I).
A - lambda I = 5-lambda & 12 & 30 -5 & -15-lambda & -41 1 & 4 & 12-lambda
Desenvolvendo o determinante chega-se a
chi(lambda) = lambda^3 - 2lambda^2 - lambda + 2

Passo 3

Fatoramos chi(lambda). Testando lambda=1 verifica-se raiz, e
lambda^3 -2lambda^2 -lambda +2 = (lambda-1)(lambda^2 -lambda -2) = (lambda-1)(lambda-2)(lambda+1)
Logo os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = -1

Passo 4

Para
Dessas equações obtemos . Tomando para evitar frações, um autovetor é

Passo 5

Para
Dessas equações segue . Tomando , um autovetor é

Passo 6

Para
Dessas equações vem . Tomando , um autovetor é

Passo 7

Os três vetores v1, v2 e v3 correspondem a autovalores distintos, logo são linearmente independentes. Assim formam uma base de R^3 só de autovetores, e T é diagonalizável.

Resposta

Autovetores:
v1 = (6,-7,2)(lambda=1), v2 = (2,-3,1)(lambda=2), v3 = (3,-4,1)(lambda=-1)
Sim, é possível construir uma base de R^3 formada apenas por autovetores de T.

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