Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Sempre é possível criar um isomorfismo linear
tal que
.
Sempre é possível criar um isomorfismo linear
Passo 1
O enunciado pede para classificar a afirmação
Sempre é possível criar um isomorfismo linear quando
.
Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais: definição de dimensão (número de vetores em uma base) e isomorfismo linear (aplicação linear bijetora).
Sempre é possível criar um isomorfismo linear
Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais: definição de dimensão (número de vetores em uma base) e isomorfismo linear (aplicação linear bijetora).
Passo 2
Lembrando a teoria, um isomorfismo linear é uma aplicação linear bijetora. Por outro lado, dois espaços vetoriais são isomorfos se, e somente se, tiverem bases com a mesma cardinalidade, isto é,
.
Passo 3
Suponha
. Então existem bases
indexadas pelo mesmo conjunto
. Definimos
mandando cada
em
, isto é,
e estendemos
linearmente a todo
.
Por construção é linear e sua ação sobre as bases é bijetora, logo
é isomorfismo.
Por construção
Resposta
Verdadeiro. Basta escolher bases de mesma dimensão e mandar cada vetor da base de
para um vetor distinto da base de
, estendendo linearmente para obter o isomorfismo.