Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Sempre é possível criar um isomorfismo linear T: V W tal que dim V=dim W.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a afirmação
Sempre é possível criar um isomorfismo linear Tcolon Vto W quando dim V=dim W.
Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais: definição de dimensão (número de vetores em uma base) e isomorfismo linear (aplicação linear bijetora).

Passo 2

Lembrando a teoria, um isomorfismo linear é uma aplicação linear bijetora. Por outro lado, dois espaços vetoriais são isomorfos se, e somente se, tiverem bases com a mesma cardinalidade, isto é, dim V=dim W.

Passo 3

Suponha dim V=dim W. Então existem bases
BV=viiin I e BW=wiiin I
indexadas pelo mesmo conjunto I. Definimos T mandando cada vi em wi, isto é,
T(vi)=wi,forall,iin I,
e estendemos T linearmente a todo V.
Por construção T é linear e sua ação sobre as bases é bijetora, logo T é isomorfismo.

Resposta

Verdadeiro. Basta escolher bases de mesma dimensão e mandar cada vetor da base de V para um vetor distinto da base de W, estendendo linearmente para obter o isomorfismo.

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