Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear
injetora.
Não existe uma transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos como verdadeiro ou falso a afirmação: “Não existe transformação linear
injetora.”
Aqui o conteúdo principal é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e o fato de que a dimensão de é maior que a de
.
Aqui o conteúdo principal é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e o fato de que a dimensão de
Passo 2
Calculamos as dimensões dos espaços vetoriais envolvidos. Sabe-se que
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, para qualquer transformação linear
vale
Como
, segue que
Passo 3
O fato de
implica que
contém vetores não-nulos, ou seja,
não pode ser injetora. Logo não existe transformação linear injetora de
em
.
Resposta
Verdadeiro. Pela razão de que
e
, o Teorema do Núcleo e Imagem garante
, impedindo
de ser injetora.