Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear T: M2(R) R^2 injetora.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos como verdadeiro ou falso a afirmação: “Não existe transformação linear Tcolon M2(R)toR^2 injetora.”
Aqui o conteúdo principal é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e o fato de que a dimensão de M2(R) é maior que a de R^2.

Passo 2

Calculamos as dimensões dos espaços vetoriais envolvidos. Sabe-se que
dim M2(R) = 4 e dim R^2 = 2
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, para qualquer transformação linear T vale
dimker T + dimIm T = dim M2(R) = 4
Como dimIm T <= dim R^2 = 2, segue que
dimker T = 4 - dimIm T >= 4 - 2 = 2 > 0

Passo 3

O fato de dimker T>0 implica que ker T contém vetores não-nulos, ou seja, T não pode ser injetora. Logo não existe transformação linear injetora de M2(R) em R^2.

Resposta

Verdadeiro. Pela razão de que dim M2(R)=4 e dim R^2=2, o Teorema do Núcleo e Imagem garante dimker T>=2, impedindo T de ser injetora.

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