Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear T: P2(R) R^5 sobrejetora.

Passo 1

O enunciado afirma que não existe transformação linear T: P2(R) to R^5 sobrejetora. O conteúdo aqui é o teorema do posto–nulidade e comparação de dimensões de domínio e contradomínio.

Passo 2

Sabemos que
diml(P2(R)r)=3
e
dim(R^5)=5.
Pelo teorema do posto–nulidade, para qualquer transformação linear T vale
rank(T)<= diml(P2(R)r)=3
Para T ser sobrejetora precisaríamos rank(T)=5, o que contradiz 3<5. Logo, não pode existir tal T.

Resposta

Verdadeiro. Como dim(P2(R))=3<5=dim(R^5), qualquer T linear tem posto no máximo 3, insuficiente para cobrir R^5.

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