Dada a transformação linear dada por , determine:
É correto afirmar que é isomorfismo?
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pergunta se é isomorfismo. O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente isomorfismos entre espaços vetoriais.
Passo 2
Lembrando que uma transformação linear é isomorfismo se e somente se for bijetora. Em particular, para espaços de dimensão finita, basta ter dimensão do domínio igual à dimensão do contradomínio e núcleo trivial.
Passo 3
Calculamos as dimensões:
Como , não pode existir bijeção entre esses espaços, logo não é isomorfismo.
Passo 4
Para ficar ainda mais claro, examinamos o núcleo:
Da segunda equação vem c=0. Da terceira vem b=-2a, e isso já resolve a primeira. Assim
ker T = ,a(t^2-2t)mid ainR,
que é um subespaço unidimensional não trivial. Logo T não é injetiva e, portanto, não é isomorfismo.