Dada a transformação linear T: P2(R) R^4 dada por T(a t^2+b t+c)=(4 a+2 b, 0,3 c, 2 a+b), determine:
É correto afirmar que T é isomorfismo?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon P2(R)toR^4, Tl(a t^2+b t+cr) = (4a+2b,;0,;3c,;2a+b),
e pergunta se T é isomorfismo. O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente isomorfismos entre espaços vetoriais.

Passo 2

Lembrando que uma transformação linear é isomorfismo se e somente se for bijetora. Em particular, para espaços de dimensão finita, basta ter dimensão do domínio igual à dimensão do contradomínio e núcleo trivial.

Passo 3

Calculamos as dimensões:
diml(P2(R)r)=3, diml(R^4r)=4
Como 3neq4, não pode existir bijeção entre esses espaços, logo T não é isomorfismo.

Passo 4

Para ficar ainda mais claro, examinamos o núcleo:
T(a t^2+b t+c)=(0,0,0,0) ;Long<=ftrightarrow; 4a+2b=0, 3c=0, 2a+b=0
Da segunda equação vem c=0. Da terceira vem b=-2a, e isso já resolve a primeira. Assim
ker T = ,a(t^2-2t)mid ainR,
que é um subespaço unidimensional não trivial. Logo T não é injetiva e, portanto, não é isomorfismo.

Resposta

Não, T não é isomorfismo.

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