Dada a transformação linear T: P2(R) R^4 dada por T(a t^2+b t+c)=(4 a+2 b, 0,3 c, 2 a+b), determine:
Encontre a matriz que representa essa transformação linear nas bases canônicas, isto é, determine [T]beta^alpha sendo alpha e beta as bases canônicas de e.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T: P2(R) to R^4 definida por
Tl(a t^2 + b t + cr) = l(4a + 2b,;0,;3c,;2a + br)
O conteúdo aqui é representação matricial de transformação linear nas bases canônicas do domínio e do contradomínio.

Passo 2

As bases canônicas são
– no domínio P2(R): alpha = ,t^2,;t,;1,
– em R^4: beta = e1,e2,e3,e4.

Passo 3

Para montar a matriz [T]beta^alpha basta calcular T em cada vetor de alpha e usar essas imagens como colunas, expressas na base beta.

Passo 4

Calculando as imagens:
T(t^2)=T(1cdot t^2+0cdot t+0)=l(4,,0,,0,,2r),
T(t)=T(0cdot t^2+1cdot t+0)=l(2,,0,,0,,1r),
T(1)=T(0cdot t^2+0cdot t+1)=l(0,,0,,3,,0r)

Passo 5

Colocando essas colunas na ordem l[T(t^2),,T(t),,T(1)r], obtemos a matriz 4times3:

Resposta

[T]beta^alpha = 4 & 2 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 2 & 1 & 0

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