Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Seja T in L(R^3)=L(R^3 ; R^3) um operador linear que admite 2 auto-valores lambda e mu que determinam os auto-espaços Vlambda e Vmu, os quais satisfazem dim Vlambda=1 e dim Vmu=2. Então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear TcolonR^3toR^3 com dois autovalores distintos, lambda e mu, cujos autespaços satisfazem dim Vlambda=1 e dim Vmu=2. O conteúdo é diagonalização de operadores via soma direta de autespaços.

Passo 2

Como autespaços de autovalores diferentes intersectam-se apenas no vetor zero, vale
dim(Vlambda+Vmu)=dim Vlambda+dim Vmu=1+2=3
Logo Vlambdaoplus Vmu=R^3, ou seja, há uma base de R^3 formada por autovetores de T. Portanto T é diagonalizável.

Resposta

Verdadeiro.

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