Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se
é tal que
então o conjunto
é um conjunto LI .
Se
Passo 1
O enunciado considera uma aplicação linear
com
. Pergunta-se se o conjunto
é linearmente independente.
é linearmente independente.
Passo 2
Pela teoria do posto e nulidade (teorema dimensão): para toda aplicação linear
entre espaços de dimensão finita vale
Aqui
tem dimensão
e
. Logo
isto é,
e
é injetora.
Passo 3
Sabe-se que uma aplicação linear injetora envia qualquer conjunto linearmente independente em outro conjunto linearmente independente. Como
é uma base (logo conjunto LI) de , então
é também LI. Alternativamente, se
é uma base (logo conjunto LI) de
é também LI. Alternativamente, se
então, pela linearidade,
e como
segue
. Logo só a combinação trivial anula o soma, provando a independência.
Resposta
Verdadeiro. A aplicação tem posto 3 em domínio de dimensão 3, logo é injetora e preserva independência linear.