Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se T: R^3 P2(R) é tal que dim Im(T)=3 então o conjunto T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1) é um conjunto LI .

Passo 1

O enunciado considera uma aplicação linear
Tcolon R^3to P2(R)
com diml(Im(T)r)=3. Pergunta-se se o conjunto
T(1,0,0),,T(0,1,0),,T(0,0,1)
é linearmente independente.

Passo 2

Pela teoria do posto e nulidade (teorema dimensão): para toda aplicação linear
varphicolon Vto W entre espaços de dimensão finita vale
dim(V)=diml(ker(varphi)r)+diml(Im(varphi)r)
Aqui V=R^3 tem dimensão 3 e dim(Im(T))=3. Logo
diml(ker(T)r)=3-3=0,
isto é, ker(T)=0 e T é injetora.

Passo 3

Sabe-se que uma aplicação linear injetora envia qualquer conjunto linearmente independente em outro conjunto linearmente independente. Como
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
é uma base (logo conjunto LI) de R^3, então
T(1,0,0),T(0,1,0),T(0,0,1)
é também LI. Alternativamente, se
a,T(1,0,0)+b,T(0,1,0)+c,T(0,0,1)=0,
então, pela linearidade,
Tl(a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)r)=T(a,b,c)=0,
e como ker(T)=0 segue (a,b,c)=(0,0,0). Logo só a combinação trivial anula o soma, provando a independência.

Resposta

Verdadeiro. A aplicação tem posto 3 em domínio de dimensão 3, logo é injetora e preserva independência linear.

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