Considere a matriz
que representa um operador linear
T: R^3 R^3 .
Encontre o polinômio característico desse operador e determine suas raízes. O que essas raízes são do operador?
Encontre o polinômio característico desse operador e determine suas raízes. O que essas raízes são do operador?
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
que representa um operador linear
T:R^3toR^3 . Precisamos achar o polinômio característico
e determinar as raízes de
p(lambda) . Essas raízes, por definição, são os autovalores (ou valores próprios) de
T .
Passo 2
Escrevemos a matriz
[T]beta^beta-lambda I e seu determinante:
Passo 3
Usando expansão pela primeira linha, temos
Calculemos cada menor:
Substituindo,
Desenvolvendo e somando termos, chega-se a
ou, multiplicando por
-1 ,
Passo 4
Para encontrar as raízes, fatoramos
p(lambda) por agrupamento:
Logo as raízes são
Passo 5
Essas raízes são exatamente os autovalores (valores próprios) do operador linear
T .
Resposta
O polinômio característico é
suas raízes são
lambda=2 ,
lambda=-2 e
lambda=1 , que são os autovalores de
T .