Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc4 & -6 & -30 -5 & 9 & 43 2 & -2 & -12] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre o polinômio característico desse operador e determine suas raízes. O que essas raízes são do operador?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
[T]beta^beta = 4 & -6 & -30 -5 & 9 & 43 2 & -2 & -12
que representa um operador linear T:R^3toR^3. Precisamos achar o polinômio característico
p(lambda)=detl([T]beta^beta-lambda Ir)
e determinar as raízes de p(lambda). Essas raízes, por definição, são os autovalores (ou valores próprios) de T.

Passo 2

Escrevemos a matriz [T]beta^beta-lambda I e seu determinante:
[T]beta^beta-lambda I = 4-lambda & -6 & -30 -5 & 9-lambda & 43 2 & -2 & -12-lambda ,
p(lambda) = det 4-lambda & -6 & -30 -5 & 9-lambda & 43 2 & -2 & -12-lambda

Passo 3

Usando expansão pela primeira linha, temos
p(lambda) =(4-lambda)l((9-lambda)(-12-lambda)-43cdot(-2)r) -(-6)l((-5)(-12-lambda)-43cdot2r) +(-30)l((-5)(-2)-(9-lambda)cdot2r)
Calculemos cada menor:
(9-lambda)(-12-lambda)-43cdot(-2) =lambda^2+3lambda-22,
(-5)(-12-lambda)-43cdot2 =5lambda-26,
(-5)(-2)-(9-lambda)cdot2 =2lambda-8
Substituindo,
p(lambda) =(4-lambda)(lambda^2+3lambda-22) +6(5lambda-26) -30(2lambda-8)
Desenvolvendo e somando termos, chega-se a
p(lambda)=-lambda^3+lambda^2+4lambda-4
ou, multiplicando por -1,
p(lambda)=lambda^3-lambda^2-4lambda+4

Passo 4

Para encontrar as raízes, fatoramos p(lambda) por agrupamento:
lambda^3-lambda^2-4lambda+4 =l(lambda^2-4r)(lambda-1) =(lambda-2)(lambda+2)(lambda-1)
Logo as raízes são
lambda=2, lambda=-2, lambda=1

Passo 5

Essas raízes são exatamente os autovalores (valores próprios) do operador linear T.

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda)=lambda^3-lambda^2-4lambda+4,
suas raízes são lambda=2, lambda=-2 e lambda=1, que são os autovalores de T.

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