Considere a matriz que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre auto-vetores para T. É possível construir uma base para R^3 constituída apenas de autovetores de T ?
Passo 1
O enunciado fornece a matriz da transformação linear T em R^3 na base beta:
e pede os autovetores de T e se dá para formar uma base de R^3 só com esses autovetores. Vamos usar os conceitos de polinômio característico, autovalores distintos e resolução de sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=detl([T]beta^beta-lambda Ir).
Como são três autovalores distintos, esperamos três autovetores linearmente independentes.
Passo 4
Autovetor para . Resolvemos , ou seja
Da primeira equação vem . Da segunda obtemos . Logo
e podemos escolher para evitar frações. Um autovetor é
Passo 5
Autovetor para . Resolvemos , i.e.
Da primeira equação . Da segunda chega‐se a , daí
Tomando , um autovetor é
Passo 6
Autovetor para . Resolvemos , i.e.
Da primeira equação . Da segunda vem , então
Tomando , um autovetor é
Passo 7
Os três autovalores são distintos, logo os três autovetores v1,v2,v3 são linearmente independentes. Assim eles formam uma base de R^3 composta somente de autovetores de T.
Resposta
Autovetores (escolha de base):
v1=(6,,-7,,2), v2=(3,,-4,,1), v3=(2,,-3,,1)
Sim, como os autovalores são distintos, esses três autovetores formam uma base de R^3.