Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc4 & -6 & -30 -5 & 9 & 43 2 & -2 & -12] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre auto-vetores para T. É possível construir uma base para R^3 constituída apenas de autovetores de T ?

Passo 1

O enunciado fornece a matriz da transformação linear T em R^3 na base beta:
[T]beta^beta = 4 & -6 & -30 -5 & 9 & 43 2 & -2 & -12
e pede os autovetores de T e se dá para formar uma base de R^3 só com esses autovetores. Vamos usar os conceitos de polinômio característico, autovalores distintos e resolução de sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=detl([T]beta^beta-lambda Ir).
[T]beta^beta-lambda I = 4-lambda & -6 & -30 -5 & 9-lambda & 43 2 & -2 & -12-lambda
Expandindo o determinante obtém-se (pelo cálculo ou por desenvolvimento)
chi(lambda) =lambda^3-lambda^2-4lambda+4

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
lambda^3 - lambda^2 - 4lambda + 4 = 0
Testando lambda=1 vê‐se que zera o polinômio, e fazendo a divisão sintética chega‐se a
(lambda - 1)(lambda^2 - 4) = 0 Longrightarrow lambda in 1, 2, -2
Como são três autovalores distintos, esperamos três autovetores linearmente independentes.

Passo 4

Autovetor para . Resolvemos , ou seja
Da primeira equação vem . Da segunda obtemos . Logo
e podemos escolher para evitar frações. Um autovetor é

Passo 5

Autovetor para . Resolvemos , i.e.
Da primeira equação . Da segunda chega‐se a , daí
Tomando , um autovetor é

Passo 6

Autovetor para . Resolvemos , i.e.
Da primeira equação . Da segunda vem , então
Tomando , um autovetor é

Passo 7

Os três autovalores são distintos, logo os três autovetores v1,v2,v3 são linearmente independentes. Assim eles formam uma base de R^3 composta somente de autovetores de T.

Resposta

Autovetores (escolha de base):
v1=(6,,-7,,2), v2=(3,,-4,,1), v3=(2,,-3,,1)
Sim, como os autovalores são distintos, esses três autovetores formam uma base de R^3.

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