Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se T: V W é uma transformação linear injetora, então dim V >= dim W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma afirmação sobre transformações lineares, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. O enunciado diz: "Se T: V W é uma transformação linear injetora, então dim V >= dim W ". Vamos analisar se isso é verdadeiro ou falso e justificar nossa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação linear T: V W é injetora se cada vetor de V mapeia para um vetor único em W . Isso significa que T não “colapsa” diferentes vetores de V no mesmo vetor de W .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema da Dimensão, também conhecido como Teorema da Ranque-Nulidade. Ele diz que:
dim V = rank(T) + nullity(T)
Onde:
  • rank(T) é a dimensão da imagem de T (quantos vetores “independentes” T consegue mapear em W ).
  • nullity(T) é a dimensão do núcleo de T (quantos vetores de V são mapeados para o vetor zero em W ).

Passo 4

Como T é injetora, o núcleo de T contém apenas o vetor zero, ou seja, nullity(T) = 0 . Então, o teorema fica:
dim V = rank(T)
Como a imagem de T está dentro de W , a dimensão da imagem não pode ser maior que a dimensão de W :
rank(T) <= dim W
Portanto:
dim V <= dim W

Passo 5

A afirmação do exercício diz que dim V >= dim W se T é injetora. Mas acabamos de ver que, na verdade, dim V <= dim W . Isso mostra que a afirmação está errada.

Resposta

FALSO. Por exemplo, considere V = R^2 e W = R^3 . A transformação T(x, y) = (x, y, 0) é injetora, mas dim V = 2 < 3 = dim W .

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