Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se
é uma transformação linear injetora, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma afirmação sobre transformações lineares, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. O enunciado diz: "Se
é uma transformação linear injetora, então
". Vamos analisar se isso é verdadeiro ou falso e justificar nossa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação linear
é injetora se cada vetor de
mapeia para um vetor único em
. Isso significa que
não “colapsa” diferentes vetores de
no mesmo vetor de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema da Dimensão, também conhecido como Teorema da Ranque-Nulidade. Ele diz que:
Onde:
-
é a dimensão da imagem de (quantos vetores “independentes” consegue mapear em ). -
é a dimensão do núcleo de (quantos vetores de são mapeados para o vetor zero em ).
Passo 4
Como
é injetora, o núcleo de
contém apenas o vetor zero, ou seja,
. Então, o teorema fica:
Como a imagem de
está dentro de
, a dimensão da imagem não pode ser maior que a dimensão de
:
Portanto:
Passo 5
A afirmação do exercício diz que
se
é injetora. Mas acabamos de ver que, na verdade,
. Isso mostra que a afirmação está errada.
Resposta
FALSO. Por exemplo, considere
e
. A transformação
é injetora, mas
.