Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se
é linear não pode ser injetora.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Se
é linear, não pode ser injetora.” Nosso conteúdo aqui é Transformações Lineares e Injetividade. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear e o que é ser injetora.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear é uma função que respeita a adição e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
, temos:
Agora, ser injetora significa que cada elemento do conjunto de chegada
é imagem de, no máximo, um elemento de
. Em outras palavras, se
, então
.
Passo 3
Vamos analisar as dimensões dos espaços envolvidos.
é o espaço dos polinômios de grau até 2, que tem dimensão 3 (pois uma base pode ser
). Já
tem dimensão 2.
Passo 4
Existe um teorema na álgebra linear que diz que, para uma transformação linear
, a dimensão do núcleo de
mais a dimensão da imagem de
é igual à dimensão de
(
).
Passo 5
Aplicando isso aqui, temos:
Como
está em
,
. Portanto,
Isso significa que o núcleo de
tem pelo menos uma dimensão, ou seja, existe um polinômio não nulo que é mapeado para o vetor zero.
Passo 6
Se o núcleo de
não contém apenas o elemento nulo, então
não é injetora. Portanto, toda transformação linear de
para
não pode ser injetora.
Resposta
Verdadeiro. Qualquer transformação linear de
para
não é injetora porque o espaço de partida tem dimensão maior que o espaço de chegada.