Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se T: P2(R) R^2 é linear não pode ser injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Se T: P2(R) R^2 é linear, não pode ser injetora.” Nosso conteúdo aqui é Transformações Lineares e Injetividade. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear e o que é ser injetora.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear é uma função que respeita a adição e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores u e v e qualquer escalar c , temos:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)
Agora, ser injetora significa que cada elemento do conjunto de chegada R^2 é imagem de, no máximo, um elemento de P2(R) . Em outras palavras, se T(p) = T(q) , então p = q .

Passo 3

Vamos analisar as dimensões dos espaços envolvidos. P2(R) é o espaço dos polinômios de grau até 2, que tem dimensão 3 (pois uma base pode ser 1, x, x^2 ). Já R^2 tem dimensão 2.

Passo 4

Existe um teorema na álgebra linear que diz que, para uma transformação linear T: V W , a dimensão do núcleo de T mais a dimensão da imagem de T é igual à dimensão de V ( dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V) ).

Passo 5

Aplicando isso aqui, temos:
dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = 3
Como Im(T) está em R^2 , dim(Im(T)) <= 2 . Portanto,
dim(Ker(T)) >= 1
Isso significa que o núcleo de T tem pelo menos uma dimensão, ou seja, existe um polinômio não nulo que é mapeado para o vetor zero.

Passo 6

Se o núcleo de T não contém apenas o elemento nulo, então T não é injetora. Portanto, toda transformação linear de P2(R) para R^2 não pode ser injetora.

Resposta

Verdadeiro. Qualquer transformação linear de P2(R) para R^2 não é injetora porque o espaço de partida tem dimensão maior que o espaço de chegada.

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