a matriz representa uma transformação linear T: R^2 M2(R) em que alpha e beta são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
a transformação linear S: M2(R) R tal que S([ll2 & 1 1 & 0])=-2, S([ll0 & 3 0 & 3])=-3, S([ll1 & 1 1 & 1])=-2, S([ll0 & 1 1 & 0])=0
Verifique que [S circ T]gamma^alpha=[S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha. Para fazer isso, voce deve determinar
ccc S circ T: R^2 & & R (a, b) & mapsto & (S circ T)(a, b)=S(T(a, b))
e construir a matriz [S circ T]gamma^alpha e comparar com [S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares:
Transformação T : Vai de R^2 para o espaço das matrizes M2(R) . A matriz que representa essa transformação na base canônica é:
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0
Transformação S : Vai de M2(R) para R . Ela está definida em algumas matrizes específicas com certos valores.
A questão quer que a gente verifique se a matriz que representa a composição das transformações S circ T é igual ao produto das matrizes que representam S e T individualmente, ou seja:
Para isso, vamos seguir os passos para encontrar [S circ T]gamma^alpha e comparar com o produto das matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar a matriz que representa a composição das transformações S circ T . A composição S circ T significa que aplicamos T primeiro e depois S no resultado.
Matematicamente:
(S circ T)(a, b) = S(T(a, b))
Aqui, (a, b) é um vetor em R^2 .
Passo 3
Vamos começar encontrando uma expressão geral para T(a, b) .
Dado que:
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0
E lembrando que T mapeia R^2 para M2(R) , podemos interpretar essa matriz como representando a imagem dos vetores da base de R^2 em M2(R) .
Então, para qualquer vetor (a, b) , temos:
T(a, b) = a cdot 1 0 0 1 + b cdot 0 -1 1 0 = a -b b a
Isso corresponde à matriz:
a & b b & a
Portanto,
T(a, b) = a & b b & a
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformação S nessa matriz resultante de T(a, b) .
Sabemos que S está definida para certas matrizes específicas:
S(2 & 1 1 & 0) = -2
S(0 & 3 0 & 3) = -3
S(1 & 1 1 & 1) = -2
S(0 & 1 1 & 0) = 0
Para achar uma expressão geral para S , podemos supor que S é uma transformação linear e tentar expressá-la como uma combinação linear dos elementos da matriz.
Vamos supor que:
S(x & y z & w) = px + qy + rz + sw
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes p, q, r, s que satisfazem as condições dadas.
Passo 5
Vamos usar as condições dadas para encontrar p, q, r, s .