Considere:
  • a matriz [T]beta^alpha=[cc1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0] representa uma transformação linear T: R^2 M2(R) em que alpha e beta são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
  • a transformação linear S: M2(R) R tal que S([ll2 & 1 1 & 0])=-2, S([ll0 & 3 0 & 3])=-3, S([ll1 & 1 1 & 1])=-2, S([ll0 & 1 1 & 0])=0
    Verifique que [S circ T]gamma^alpha=[S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha. Para fazer isso, voce deve determinar
ccc S circ T: R^2 & & R (a, b) & mapsto & (S circ T)(a, b)=S(T(a, b))
e construir a matriz [S circ T]gamma^alpha e comparar com [S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares:
  1. Transformação T : Vai de R^2 para o espaço das matrizes M2(R) . A matriz que representa essa transformação na base canônica é:
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0
  1. Transformação S : Vai de M2(R) para R . Ela está definida em algumas matrizes específicas com certos valores.
A questão quer que a gente verifique se a matriz que representa a composição das transformações S circ T é igual ao produto das matrizes que representam S e T individualmente, ou seja:
[S circ T]gamma^alpha = [S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha
Para isso, vamos seguir os passos para encontrar [S circ T]gamma^alpha e comparar com o produto das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar a matriz que representa a composição das transformações S circ T . A composição S circ T significa que aplicamos T primeiro e depois S no resultado.
Matematicamente:
(S circ T)(a, b) = S(T(a, b))
Aqui, (a, b) é um vetor em R^2 .

Passo 3

Vamos começar encontrando uma expressão geral para T(a, b) .
Dado que:
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0
E lembrando que T mapeia R^2 para M2(R) , podemos interpretar essa matriz como representando a imagem dos vetores da base de R^2 em M2(R) .
Então, para qualquer vetor (a, b) , temos:
T(a, b) = a cdot 1 0 0 1 + b cdot 0 -1 1 0 = a -b b a
Isso corresponde à matriz:
a & b b & a
Portanto,
T(a, b) = a & b b & a

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformação S nessa matriz resultante de T(a, b) .
Sabemos que S está definida para certas matrizes específicas:
  • S(2 & 1 1 & 0) = -2
  • S(0 & 3 0 & 3) = -3
  • S(1 & 1 1 & 1) = -2
  • S(0 & 1 1 & 0) = 0
Para achar uma expressão geral para S , podemos supor que S é uma transformação linear e tentar expressá-la como uma combinação linear dos elementos da matriz.
Vamos supor que:
S(x & y z & w) = px + qy + rz + sw
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes p, q, r, s que satisfazem as condições dadas.

Passo 5

Vamos usar as condições dadas para encontrar p, q, r, s .
  1. Para 2 & 1 1 & 0 :
2p + 1q + 1r + 0s = -2 Rightarrow 2p + q + r = -2 (Equação 1) çã
  1. Para 0 & 3 0 & 3 :
0p + 3q + 0r + 3s = -3 Rightarrow 3q + 3s = -3 Rightarrow q + s = -1 (Equação 2) çã
  1. Para 1 & 1 1 & 1 :
1p + 1q + 1r + 1s = -2 Rightarrow p + q + r + s = -2 (Equação 3) çã
  1. Para 0 & 1 1 & 0 :
0p + 1q + 1r + 0s = 0 Rightarrow q + r = 0 (Equação 4) çã

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
A partir da Equação 4:
q + r = 0 Rightarrow r = -q
Substituindo r = -q na Equação 1:
2p + q - q = 2p = -2 Rightarrow p = -1
Agora, usando p = -1 na Equação 3:
-1 + q + (-q) + s = -1 + 0 + s = -1 + s = -2 Rightarrow s = -1
E da Equação 2:
q + s = q -1 = -1 Rightarrow q = 0
E, como r = -q , então:
r = 0
Portanto, os coeficientes são:
p = -1, q = 0, r = 0, s = -1

Passo 7

Agora que temos os valores de p, q, r, s , podemos escrever a transformação S :
S(x & y z & w) = -x - w
Então, para qualquer matriz x & y z & w , S retorna -x - w .

Passo 8

Vamos agora aplicar S na imagem de T(a, b) , que é a & b b & a .
Então:
(S circ T)(a, b) = S(a & b b & a) = -a - a = -2a
Portanto, a transformação composta S circ T mapeia (a, b) para -2a .

Passo 9

Agora, vamos construir a matriz [S circ T]gamma^alpha .
Como S circ T mapeia R^2 para R , a matriz será 1 times 2 .
Sabemos que:
(S circ T)(a, b) = -2a
Então, a matriz que representa essa transformação na base canônica é:
[S circ T]gamma^alpha = -2 & 0

Passo 10

Agora, vamos calcular o produto [S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha .
Primeiro, precisamos encontrar [S]gamma^beta .
Sabemos que S (x & y z & w) = -x - w .
Isso significa que na base canônica de M2(R) (que geralmente é ordenada como E11, E12, E21, E22 ), temos:
[S]gamma^beta = -1 & 0 & 0 & -1
Agora, multiplicando por [T]beta^alpha :
[S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha = -1 & 0 & 0 & -1 cdot 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 = (-1)(1) + (0)(0) + (0)(0) + (-1)(1) & (-1)(0) + (0)(-1) + (0)(1) + (-1)(0) = -1 -1 & 0 + 0 = -2 & 0

Passo 11

Comparando o resultado de [S circ T]gamma^alpha com [S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha , vemos que ambos são iguais:
[S circ T]gamma^alpha = [S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha = -2 & 0

Resposta

Sim, [S circ T]gamma^alpha = [S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha = -2 & 0 .

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