Considere:
  • a matriz [T]beta^alpha=[cc1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0] representa uma transformação linear T: R^2 M2(R) em que alpha e beta são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
  • a transformação linear S: M2(R) R tal que S([ll2 & 1 1 & 0])=-2, S([ll0 & 3 0 & 3])=-3, S([ll1 & 1 1 & 1])=-2, S([ll0 & 1 1 & 0])=0
    Utilizando as condições acima, determine T(a, b) e S([ccx & y z & w]).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar para resolvê-la. Temos duas transformações lineares:
  1. Transformação T : Vai de R^2 para M2(R) (matrizes 2x2), e é representada pela matriz [T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0. As bases alpha e beta são as canônicas.
  2. Transformação S : Vai de M2(R) para R, com valores específicos dados para algumas matrizes.
Nosso objetivo é encontrar fórmulas gerais para T(a, b) e S(x & y z & w). Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, representação matricial e propriedades das combinações lineares.

Passo 2

Vamos começar com a transformação T . A matriz [T]beta^alpha representa como T age sobre um vetor (a, b) in R^2 para produzir uma matriz 2x2. Para encontrar T(a, b) , precisamos multiplicar o vetor (a, b) pela matriz [T]beta^alpha.

Passo 3

Vamos fazer essa multiplicação:
T(a, b) = [T]beta^alpha a b = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 a b
Multiplicando as matrizes:
T(a, b) = 1 cdot a + 0 cdot b 0 cdot a + (-1) cdot b 0 cdot a + 1 cdot b 1 cdot a + 0 cdot b = a - b b a
Como T(a, b) deve ser uma matriz 2x2, organizamos esses valores:
T(a, b) = a & -b b & a

Passo 4

Agora, vamos para a transformação S . Sabemos que S é linear e temos seus valores para quatro matrizes específicas:
  1. S(2 & 1 1 & 0) = -2
  2. S(0 & 3 0 & 3) = -3
  3. S(1 & 1 1 & 1) = -2
  4. S(0 & 1 1 & 0) = 0
Queremos expressar S(x & y z & w) de maneira geral. Como S é linear, podemos assumir que:
S(x & y z & w) = p x + q y + r z + s w
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes p, q, r, s .

Passo 5

Vamos usar as condições fornecidas para montar um sistema de equações e resolver para p, q, r, s .
  1. Para 2 & 1 1 & 0 :
2p + 1q + 1r + 0s = -2 Rightarrow 2p + q + r = -2 (1)
  1. Para 0 & 3 0 & 3 :
0p + 3q + 0r + 3s = -3 Rightarrow 3q + 3s = -3 (2)
  1. Para 1 & 1 1 & 1 :
1p + 1q + 1r + 1s = -2 Rightarrow p + q + r + s = -2 (3)
  1. Para 0 & 1 1 & 0 :
0p + 1q + 1r + 0s = 0 Rightarrow q + r = 0 (4)

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da equação (4):
q + r = 0 Rightarrow r = -q (5)
Substituindo r = -q na equação (3):
p + q + (-q) + s = p + s = -2 Rightarrow p + s = -2 (6)
Substituindo r = -q na equação (1):
2p + q - q = 2p = -2 Rightarrow p = -1 (7)
Usando p = -1 na equação (6):
-1 + s = -2 Rightarrow s = -1 (8)
Agora, usando s = -1 na equação (2):
3q + 3(-1) = -3 Rightarrow 3q - 3 = -3 Rightarrow 3q = 0 Rightarrow q = 0 (9)
E daí, de r = -q , temos:
r = 0 (10)

Passo 7

Com todos os coeficientes determinados:
p = -1, q = 0, r = 0, s = -1
Portanto, a transformação S é:
S(x & y z & w) = -1 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z + (-1) cdot w = -x - w

Resposta

As transformações são dadas por:
T(a, b) = a & -b b & a
e
S(x & y z & w) = -x - w

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