a matriz representa uma transformação linear T: R^2 M2(R) em que alpha e beta são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
a transformação linear S: M2(R) R tal que S([ll2 & 1 1 & 0])=-2, S([ll0 & 3 0 & 3])=-3, S([ll1 & 1 1 & 1])=-2, S([ll0 & 1 1 & 0])=0
Utilizando as condições acima, determine T(a, b) e S([ccx & y z & w]).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar para resolvê-la. Temos duas transformações lineares:
Transformação T : Vai de R^2 para M2(R) (matrizes 2x2), e é representada pela matriz [T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0. As bases alpha e beta são as canônicas.
Transformação S : Vai de M2(R) para R, com valores específicos dados para algumas matrizes.
Nosso objetivo é encontrar fórmulas gerais para T(a, b) e S(x & y z & w). Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, representação matricial e propriedades das combinações lineares.
Passo 2
Vamos começar com a transformação T . A matriz [T]beta^alpha representa como T age sobre um vetor (a, b) in R^2 para produzir uma matriz 2x2. Para encontrar T(a, b) , precisamos multiplicar o vetor (a, b) pela matriz [T]beta^alpha.
Passo 3
Vamos fazer essa multiplicação:
T(a, b) = [T]beta^alpha a b = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 a b
Multiplicando as matrizes:
T(a, b) = 1 cdot a + 0 cdot b 0 cdot a + (-1) cdot b 0 cdot a + 1 cdot b 1 cdot a + 0 cdot b = a - b b a
Como T(a, b) deve ser uma matriz 2x2, organizamos esses valores:
T(a, b) = a & -b b & a
Passo 4
Agora, vamos para a transformação S . Sabemos que S é linear e temos seus valores para quatro matrizes específicas:
S(2 & 1 1 & 0) = -2
S(0 & 3 0 & 3) = -3
S(1 & 1 1 & 1) = -2
S(0 & 1 1 & 0) = 0
Queremos expressar S(x & y z & w) de maneira geral. Como S é linear, podemos assumir que:
S(x & y z & w) = p x + q y + r z + s w
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes p, q, r, s .
Passo 5
Vamos usar as condições fornecidas para montar um sistema de equações e resolver para p, q, r, s .