Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo. Em todas elas V denota um espaço vetorial com dim V=n.
  1. Se X subset V tem menos que n elementos então X não é um conjunto gerador.
  2. Se X subset V tem mais que n elementos então X não é l.i.
  3. Existe uma base V de v1=0 tal que V.
  4. Existe uma base v2=4 v1 de tal que .

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre um espaço vetorial V de dimensão n, envolvendo conjuntos geradores, independência linear e propriedades de base. Vamos usar conceitos de teoria de dimensão: todo conjunto gerador contém uma base (logo tem pelo menos n vetores) e toda família linearmente independente tem no máximo n vetores; além disso, vetores de uma base devem ser não nulos e mutuamente independentes.

Passo 2

Analisando a afirmação 1: “Se Xsubset V tem menos que n elementos então X não é um conjunto gerador.” Como toda base de V tem exatamente n vetores e todo conjunto gerador contém uma base, qualquer conjunto gerador precisa ter pelo menos n elementos. Logo, se |X|, X não pode gerar todo V. Isso mostra que a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação 2: “Se Xsubset V tem mais que n elementos então X não é linearmente independente.” Pela definição de dimensão, a maior família linearmente independente em V tem tamanho n. Qualquer coleção com mais de n vetores em V é necessariamente linearmente dependente. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação 3: “Existe uma base beta=v1,dots,vn de V tal que v1=0.” Um vetor zero não pode fazer parte de uma base, pois impõe dependência linear (basta 1cdot0+0+cdots+0=0). Portanto, não existe base contendo o vetor nulo. A afirmação é falsa; contra-exemplo é qualquer espaço vetorial: nenhuma base pode ter 0.

Passo 5

Analisando a afirmação 4: “Existe uma base beta=v1,dots,vn de V tal que v2=4v1.” Se v2 fosse múltiplo escalar de v1, esses dois vetores seriam linearmente dependentes, o que proíbe que pertençam juntos a uma base. Logo, a afirmação é falsa; como contra-exemplo, basta observar que em qualquer base não pode haver dois vetores proporcionais.

Resposta

  1. Verdadeira; 2. Verdadeira; 3. Falsa; 4. Falsa

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