Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo. Em todas elas
denota um espaço vetorial com
.
- Se
tem menos que
elementos então
não é um conjunto gerador.
- Se
tem mais que
elementos então
não é l.i.
- Existe uma base
de
tal que
.
- Existe uma base
de
tal que
.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre um espaço vetorial
de dimensão
, envolvendo conjuntos geradores, independência linear e propriedades de base. Vamos usar conceitos de teoria de dimensão: todo conjunto gerador contém uma base (logo tem pelo menos
vetores) e toda família linearmente independente tem no máximo
vetores; além disso, vetores de uma base devem ser não nulos e mutuamente independentes.
Passo 2
Analisando a afirmação 1: “Se
tem menos que
elementos então
não é um conjunto gerador.” Como toda base de
tem exatamente
vetores e todo conjunto gerador contém uma base, qualquer conjunto gerador precisa ter pelo menos
elementos. Logo, se
,
não pode gerar todo
. Isso mostra que a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação 2: “Se
tem mais que
elementos então
não é linearmente independente.” Pela definição de dimensão, a maior família linearmente independente em
tem tamanho
. Qualquer coleção com mais de
vetores em
é necessariamente linearmente dependente. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação 3: “Existe uma base
de
tal que
.” Um vetor zero não pode fazer parte de uma base, pois impõe dependência linear (basta
). Portanto, não existe base contendo o vetor nulo. A afirmação é falsa; contra-exemplo é qualquer espaço vetorial: nenhuma base pode ter
.
Passo 5
Analisando a afirmação 4: “Existe uma base
de
tal que
.” Se
fosse múltiplo escalar de
, esses dois vetores seriam linearmente dependentes, o que proíbe que pertençam juntos a uma base. Logo, a afirmação é falsa; como contra-exemplo, basta observar que em qualquer base não pode haver dois vetores proporcionais.
Resposta
- Verdadeira; 2. Verdadeira; 3. Falsa; 4. Falsa