(2.5 Pontos) Aplique o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt nos vetores
e
. Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, a partir dos vetores
e
, um conjunto de vetores ortogonais usando o processo de Gram–Schmidt. Vamos precisar da definição de projeção de um vetor sobre outro e da fórmula que subtrai essa projeção para obter o vetor ortogonal.
Passo 2
Escolhemos o primeiro vetor ortogonal
simplesmente como
:
Passo 3
Agora projetamos
sobre
usando a fórmula
Calculamos primeiro o produto interno:
Logo,
Passo 4
Subtraímos essa projeção de
para obter
:
Esse
é claramente ortogonal a
porque eliminamos toda a componente na direção de
.
Passo 5
Se quisermos uma base ortonormal, basta dividir cada
pelo seu comprimento. Calculamos:
Logo as direções normalizadas são
Resposta
Uma base ortogonal obtida é
u_1=(1,1,1,1)
u_2=(−5/2,5/2,5/2,−5/2)
E a base ortonormal correspondente é
e_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)
e_2=(−1/2,1/2,1/2,−1/2).
u_1=(1,1,1,1)
u_2=(−5/2,5/2,5/2,−5/2)
E a base ortonormal correspondente é
e_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)
e_2=(−1/2,1/2,1/2,−1/2).