(2.5 Pontos) Aplique o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt nos vetores v1= (1,1,1,1) e v2=(-1,4,4,-1). Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, a partir dos vetores v1=(1,1,1,1) e v2=(-1,4,4,-1), um conjunto de vetores ortogonais usando o processo de Gram–Schmidt. Vamos precisar da definição de projeção de um vetor sobre outro e da fórmula que subtrai essa projeção para obter o vetor ortogonal.

Passo 2

Escolhemos o primeiro vetor ortogonal u1 simplesmente como v1:
u1 = v1 = (1,1,1,1)

Passo 3

Agora projetamos v2 sobre u1 usando a fórmula
extproju1(v2)=v2cdot u1u1cdot u1,u1
Calculamos primeiro o produto interno:
v2cdot u1 = (-1)+4+4+(-1)=6,
u1cdot u1 = 1+1+1+1=4
Logo,
extproju1(v2)=64,u1 = 32(1,1,1,1) = l(tfrac32,tfrac32,tfrac32,tfrac32r)

Passo 4

Subtraímos essa projeção de v2 para obter u2:
u2 = v2 - proju1(v2) = (-1,4,4,-1) - l(tfrac32,tfrac32,tfrac32,tfrac32r) = l(-tfrac52,tfrac52,tfrac52,-tfrac52r)
Esse u2 é claramente ortogonal a u1 porque eliminamos toda a componente na direção de u1.

Passo 5

Se quisermos uma base ortonormal, basta dividir cada ui pelo seu comprimento. Calculamos:
|u1| = raiz1^2+1^2+1^2+1^2=2,
|u2| = raizl(-tfrac52r)^2+l(tfrac52r)^2+l(tfrac52r)^2+l(-tfrac52r)^2 = 5
Logo as direções normalizadas são
e1 = u1|u1| = l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r),
e2 = u2|u2| = l(-tfrac12,tfrac12,tfrac12,-tfrac12r)

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
u_1=(1,1,1,1)
u_2=(−5/2,5/2,5/2,−5/2)
E a base ortonormal correspondente é
e_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)
e_2=(−1/2,1/2,1/2,−1/2).

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