Seja beta=((1,1,-1),(-1,1,1),(1,-1,1)). Obtenha
(i-j) wed>=(1,0,-1)beta

Passo 1

A ideia é encontrar o produto vetorial de vec i - vec j por um vetor dado em coordenadas na base beta. Precisamos usar mudança de base para obter o vetor em coordenadas canônicas e depois aplicar a definição de produto vetorial.

Passo 2

Calcular o vetor v cujas coordenadas em beta são (1,0,-1). Como beta=(b1,b2,b3) com
b1=(1,1,-1), b2=(-1,1,1), b3=(1,-1,1),
temos
v = 1cdot b1 + 0cdot b2 + (-1)cdot b3 = b1 - b3 = (1,1,-1) - (1,-1,1) = (0,2,-2)

Passo 3

Seja u=vec i-vec j=(1,-1,0). Para o produto vetorial usamos a matriz
$$u \times v = \det u times v = det vec i & vec j & vec k 1 & -1 & 0 0 & 2 & -2 .
utimes v = vec i((-1)(-2)-0cdot2)-vec j(1cdot(-2)-0cdot0)+vec k(1cdot2-(-1)cdot0)=2vec i+2vec j+2vec ku\times v = \vec i((-1)(-2)-0\cdot2)-\vec j(1\cdot(-2)-0\cdot0)+\vec k(1\cdot2-(-1)\cdot0)=2\vec i+2\vec j+2\vec k.$$

Passo 4

Então o produto vetorial desejado é 2vec i+2vec j+2vec k.

Resposta

(2,2,2)

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