Um geólogo encontrou um cristal, em forma de paralelepípedo, e marcou as coordenadas de 4 pontos desse cristal, A=(0,1,10), B=(2,2,1), C=(1,4,1) e D=(-1,2,2). Calcule o volume desse cristal.

Passo 1

O enunciado nos dá quatro vértices de um paralelepípedo A,B,C,D. Para calcular o volume desse paralelogramo no espaço usamos o produto misto (ou escalar triplo) de três arestas concorrentes em A:
V = \bigl|\det\bigl(\vec{AB},\,\vec{AC},\,\vec{AD}\bigr)\bigr|.

Passo 2

Começamos calculando os vetores a partir de A=(0,1,10):
\vec{AB} = B - A = (2,2,1)-(0,1,10) = (2,1,-9),
\vec{AC} = C - A = (1,4,1)-(0,1,10) = (1,3,-9),
\vec{AD} = D - A = (-1,2,2)-(0,1,10) = (-1,1,-8).

Passo 3

Escrevemos o volume como o valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores:
V = \left|\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ -9 & -9 & -8 \end{pmatrix}\right|.

Passo 4

Calculamos o determinante por expansão:
\det = 2\cdot\det\begin{pmatrix}3&1\\\ -9&-8\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -9&-8\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1&3\\\ -9&-9\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}3&1\\\ -9&-8\end{pmatrix} = 3\cdot(-8)-1\cdot(-9) = -24+9 = -15,
\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -9&-8\end{pmatrix} = 1\cdot(-8)-1\cdot(-9) = -8+9 = 1,
\det\begin{pmatrix}1&3\\\ -9&-9\end{pmatrix} = 1\cdot(-9)-3\cdot(-9) = -9+27 = 18.
Substituindo:
\det = 2\cdot(-15) - 1\cdot1 +(-1)\cdot18 = -30 -1 -18 = -49.

Passo 5

O volume é o valor absoluto desse determinante:
V = |{-49}| = 49.

Resposta

49 unidades de volume.

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