Um geólogo encontrou um cristal, em forma de paralelepípedo, e marcou as coordenadas de 4 pontos desse cristal, A=(0,1,10), B=(2,2,1), C=(1,4,1) e D=(-1,2,2). Calcule o volume desse cristal.
Passo 1
O enunciado nos dá quatro vértices de um paralelepípedo A,B,C,D. Para calcular o volume desse paralelogramo no espaço usamos o produto misto (ou escalar triplo) de três arestas concorrentes em A:
V = \bigl|\det\bigl(\vec{AB},\,\vec{AC},\,\vec{AD}\bigr)\bigr|.
Passo 2
Começamos calculando os vetores a partir de A=(0,1,10):
\vec{AB} = B - A = (2,2,1)-(0,1,10) = (2,1,-9),
\vec{AC} = C - A = (1,4,1)-(0,1,10) = (1,3,-9),
\vec{AD} = D - A = (-1,2,2)-(0,1,10) = (-1,1,-8).
Passo 3
Escrevemos o volume como o valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores: