Discuta a classificação dos sistemas lineares a seguir em função de k.
\left\{\begin{array}{l}-x-2 y-k z=1 \k x-y+z=2 \x+y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro k\): \[\begin{cases} -x - 2y - k z = 1,\\\ kx - y + z = 2,\\\ x + y + z = 0. \end{cases}
Para classificar o sistema em função de (k] vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e, quando ele for zero, comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz ampliada.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -k\\\ k & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos \det A expandindo pela primeira linha:
\det A = (-1)\bigl((-1)\cdot1 - 1\cdot1\bigr) -(-2)\bigl(k\cdot1 - 1\cdot1\bigr) +(-k)\bigl(k\cdot1 - (-1)\cdot1\bigr).
Isso dá
\det A = (-1)(-2) +2(k-1) -k(k+1) =2 +2k-2 -k^2 -k = k - k^2 = k(1-k).

Passo 3

Se \det A \neq 0, ou seja, se
k(1-k)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k\neq 0 \text{ e } k\neq 1,
o sistema é determinado e tem solução única.

Passo 4

Para k=0\) a matriz fica singular e o sistema é \[\begin{cases} -x -2y =1,\\\\ -y + z =2,\\\ x + y + z =0. \end{cases}
Da primeira equação vem x+2y=-1\]. Da segunda, \(z=y+2.
Substituindo em x+y+z=0 temos
x + y + (y+2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x +2y = -2,
que contradiz x+2y=-1. Logo o sistema é inconsistente e não tem solução.

Passo 5

Para k=1\) o sistema é \[\begin{cases} -x -2y - z =1,\\\ x - y + z =2,\\\ x + y + z =0. \end{cases}
Somando a primeira com a segunda anula z\]: \[(-x-2y-z)+(x-y+z) = 1+2 \quad\Longrightarrow\quad -3y = 3 \quad\Longrightarrow\quad y = -1.\] Da terceira equação, \[x +(-1) + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + z = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 - z,\] e não há outra restrição em \(z. Portanto há uma infinidade de soluções (grau de liberdade 1).

Resposta

Para o sistema dado:
- se k\neq 0 e k\neq 1, há solução única;
- se k=0, o sistema é inconsistente (sem solução);
- se k=1, o sistema tem infinitas soluções.

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