Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta.
Se podemos efetuar A^2, então A é uma matriz quadrada.

Passo 1

O enunciado afirma que “se podemos efetuar A^2, então A é uma matriz quadrada”. O conteúdo é multiplicação de matrizes e precisamos usar a condição de existência do produto de duas matrizes para concluir algo sobre as dimensões de A.

Passo 2

Lembrando a regra geral: se A é uma matriz de dimensão mtimes n e B é de dimensão ptimes q, o produto AB está definido se, e somente se, o número de colunas de A (que é n) for igual ao número de linhas de B (que é p). Nesse caso, o resultado AB terá dimensão mtimes q.

Passo 3

No caso de A^2 estamos multiplicando A por ela mesma. Se A tem dimensão mtimes n, para que Acdot A exista precisamos ter n=m. Isso significa que A tem o mesmo número de linhas e colunas: A é uma matriz ntimes n, ou seja, quadrada.

Resposta

Verdadeiro. A multiplicação A^2=Acdot A só existe quando o número de colunas de A coincidir com o número de linhas de A, o que obriga A a ser quadrada.

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