Considere a matriz A=[ll2 & 2 1 & 4]. Encontre duas matrizes B e C tais que B é uma matriz simétrica e C é uma matriz antissimétrica e A=B+C.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = 2 & 2 1 & 4
e pede uma decomposição A = B + C, onde B é simétrica e C é antissimétrica. Vamos usar o fato de que, para toda matriz quadrada A,
B = A + A^T2 e C = A - A^T2
são, respectivamente, a parte simétrica e a parte antissimétrica de A.

Passo 2

Calcular a transposta de A:
A^T = 2 & 1 2 & 4

Passo 3

Obter a parte simétrica
B = A + A^T2 = 12l(2 & 2 1 & 4 +2 & 1 2 & 4r) = 124 & 3 3 & 8 = 2 & tfrac32 tfrac32 & 4

Passo 4

Obter a parte antissimétrica
C = A - A^T2 = 12l(2 & 2 1 & 4 -2 & 1 2 & 4r) = 120 & 1 -1 & 0 = 0 & tfrac12 -tfrac12 & 0

Passo 5

Verificamos que
B^T = B, C^T = -,C, e B+C = A,
confirmando que B é simétrica, C é antissimétrica e A=B+C.

Resposta

B = 2 & tfrac32 tfrac32 & 4, C = 0 & tfrac12 -tfrac12 & 0

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