Determine x, y, z, w se [ccx & y z & w][ll2 & 3 3 & 4]=[ll1 & 0 0 & 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de multiplicação de matrizes! A gente precisa encontrar os valores de x , y , z e w que fazem com que a multiplicação das duas matrizes de 2 times 2 resulte na matriz identidade [ll1 & 0 0 & 1] . Pra isso, vamos usar as regras de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos uma matriz A = [cca & b c & d] e outra matriz B = [cce & f g & h] , a multiplicação AB é dada por:
AB = [cc a cdot e + b cdot g & a cdot f + b cdot h c cdot e + d cdot g & c cdot f + d cdot h ]
Vamos aplicar isso às matrizes do problema.

Passo 3

Vamos chamar a primeira matriz de M = [ccx & y z & w] e a segunda matriz de N = [cc2 & 3 3 & 4] . A multiplicação MN fica:
MN = [cc x cdot 2 + y cdot 3 & x cdot 3 + y cdot 4 z cdot 2 + w cdot 3 & z cdot 3 + w cdot 4 ]

Passo 4

Sabemos que MN deve ser igual à matriz identidade I = [cc1 & 0 0 & 1] . Então, igualamos cada elemento correspondentes:
x cdot 2 + y cdot 3 = 1 x cdot 3 + y cdot 4 = 0 z cdot 2 + w cdot 3 = 0 z cdot 3 + w cdot 4 = 1

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de equações. Começamos com as duas primeiras para encontrar x e y :
  1. 2x + 3y = 1
  2. 3x + 4y = 0
Podemos resolver isso usando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.

Passo 6

Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de x :
6x + 9y = 3 6x + 8y = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(6x + 9y) - (6x + 8y) = 3 - 0 y = 3

Passo 7

Agora que temos y = 3 , substituímos na primeira equação para encontrar x :
2x + 3(3) = 1 2x + 9 = 1 2x = 1 - 9 2x = -8 x = -4

Passo 8

Agora, resolvemos as outras duas equações para encontrar z e w :
  1. 2z + 3w = 0
  2. 3z + 4w = 1
Vamos usar o mesmo método de eliminação.

Passo 9

Multiplicamos a terceira equação por 3 e a quarta por 2:
6z + 9w = 0 6z + 8w = 2
Subtraindo a segunda da primeira:
(6z + 9w) - (6z + 8w) = 0 - 2 w = -2

Passo 10

Com w = -2 , substituímos na terceira equação para encontrar z :
2z + 3(-2) = 0 2z - 6 = 0 2z = 6 z = 3

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:
x = -4, y = 3, z = 3, w = -2

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