Em cada alinea determinar um vector B de V_{2} tal que B \cdot A=0 e \|B\|=\|A \| se:
A=(1,-1)

Passo 1

O enunciado pede um vetor B\in V_{2} tal que
  1. B\cdot A=0 (ortogonalidade com A),
  2. \|B\|=\|A\| (mesma norma de A),
    onde A=(1,-1). Vamos usar a definição de produto escalar e norma em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Calcular a norma de A:
\|A\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Passo 3

Escrevendo B=(x,y), a ortogonalidade B\cdot A=0
x\cdot1 + y\cdot(-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x.
Logo B=(t,t) para algum t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Impor \|B\|=\|A\|. Temos
\|B\| = \sqrt{t^2 + t^2} = \sqrt{2t^2}
e queremos \sqrt{2t^2} = \sqrt{2}. Ao quadrado,
2t^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad t^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad t = \pm 1.
Portanto as soluções são B=(1,1) ou B=(-1,-1).

Resposta

B=(1,1) ou B=(-1,-1).

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