Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de
(\vec{v}) e (II) sentido contrário a (\vec{v}), nos casos:
a) (\vec{v}=-\vec{i}+\vec{j})
b) (\vec{v}=3 \vec{i}-\vec{j})
c) (\vec{v}=(1, \sqrt{3}))
d) (\vec{v}=(0,4))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, para cada vetor \vec{v} dado, (I) o vetor unitário com o mesmo sentido de \vec{v} e (II) o vetor unitário com sentido contrário a \vec{v}. O conteúdo usado é a normalização de vetores: calcular o módulo de \vec{v} e dividi-lo por esse módulo.

Passo 2

O procedimento geral é: se \vec{v}=(v_x,v_y), então
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2},
o vetor unitário no mesmo sentido é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}
e no sentido contrário é
\vec{u}_{\mathrm{op}}=-\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 3

Caso a) \vec{v}=-\vec{i}+\vec{j}. Aqui \vec{v}=(-1,1), logo
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}.
O vetor unitário no mesmo sentido é
\vec{u}_a=\frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}=\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)
e no sentido contrário
\vec{u}_{a,\mathrm{op}}=-\frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 4

Caso b) \vec{v}=3\vec{i}-\vec{j}. Aqui \vec{v}=(3,-1), então
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}.
O vetor unitário no mesmo sentido é
\vec{u}_b=\frac{(3,-1)}{\sqrt{10}}=\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{10}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr)
e no sentido contrário
\vec{u}_{b,\mathrm{op}}=-\frac{(3,-1)}{\sqrt{10}}=\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{10}},\,\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 5

Caso c) \vec{v}=(1,\sqrt{3}). Aqui
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2.
O vetor unitário no mesmo sentido é
\vec{u}_c=\frac{(1,\sqrt{3})}{2}=\Bigl(\tfrac12,\,\tfrac{\sqrt{3}}2\Bigr)
e no sentido contrário
\vec{u}_{c,\mathrm{op}}=-\frac{(1,\sqrt{3})}{2}=\Bigl(-\tfrac12,\,-\tfrac{\sqrt{3}}2\Bigr).

Passo 6

Caso d) \vec{v}=(0,4). Aqui
\|\vec{v}\|=\sqrt{0^2+4^2}=4.
O vetor unitário no mesmo sentido é
\vec{u}_d=\frac{(0,4)}{4}=(0,1)
e no sentido contrário
\vec{u}_{d,\mathrm{op}}=-\frac{(0,4)}{4}=(0,-1).

Resposta

a) \vec{u}_a=\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr), \vec{u}_{a,\mathrm{op}}=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)
b) \vec{u}_b=\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{10}},-\tfrac{1}{\sqrt{10}}\bigr), \vec{u}_{b,\mathrm{op}}=\bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{10}},\tfrac{1}{\sqrt{10}}\bigr)
c) \vec{u}_c=\bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr), \vec{u}_{c,\mathrm{op}}=\bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)
d) \vec{u}_d=(0,1), \vec{u}_{d,\mathrm{op}}=(0,-1)

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