Em cada alinea determinar um vector B de V_{2} tal que B \cdot A=0 e \|B\|=\|A \| se:
A=(2,-3)

Passo 1

O enunciado pede um vetor B\in V_{2} tal que seja ortogonal a
A = (2,-3)
e tenha a mesma norma de A.
Conteúdo: produto escalar em \mathbb R^2 (ortogonalidade) e norma de vetor.

Passo 2

Calcular a norma de A.
\|A\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

Passo 3

Escrevemos B=(x,y) e impomos as duas condições:
ortogonalidade
A\cdot B = 2x + (-3)y = 0,
mesma norma
\|B\| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{13}.

Passo 4

Da ortogonalidade 2x - 3y = 0 segue
x = \frac{3}{2}\,y.

Passo 5

Substituindo na norma:
x^2 + y^2 = \Bigl(\tfrac{3}{2}y\Bigr)^2 + y^2 = \frac{9}{4}y^2 + y^2 = \frac{13}{4}y^2 = 13 \;\Longrightarrow\; y^2 = 4 \;\Longrightarrow\; y = \pm 2.
Então
y = 2 \implies x = 3, \qquad y = -2 \implies x = -3.

Passo 6

Os dois vetores que satisfazem as condições são
B = (3,2) \quad\text{e}\quad B = (-3,-2),
ambos ortogonais a A e com \|B\|=\sqrt{13}=\|A\|.

Resposta

B = (3,2) ou B = (-3,-2).

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