O teorema de geometria enunciado a seguir sugere uma identidade vectorial relativa a três vectores A, B e C. Dizer qual é a identidade e provar que se verifica para vectores de V_{n^{*}}. Tal identidade proporciona uma demonstração do teorema por métodos vectoriais.
“A soma dos quadrados dos lados de um quadrilatero qualquer excede a soma dos quadrados das diagonais em quatro vezes o quadrado do comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais”.

Passo 1

O enunciado diz que, num quadrilátero qualquer ABCD, vale a relação
|AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 + 4\,|MN|^2
onde M e N são os pontos médios das diagonais AC e BD.
O conteúdo é uma identidade vetorial em \,V_{n}^* (espaço com produto interno): vamos usar a definição de norma \|x\|^2=\langle x,x\rangle e a bilinearidade do produto escalar para provar essa igualdade.

Passo 2

Escolhemos sistemas de vetores posição: a, b, c, d são os vetores posição de A,B,C,D.
Então
AB = b - a,\;BC = c - b,\;CD = d - c,\;DA = a - d,
AC = c - a,\;BD = d - b,
e os pontos médios
M = \frac{a + c}{2},\quad N = \frac{b + d}{2},
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MN = N - M = \frac{b + d - a - c}{2}.
A identidade a provar é
\|b - a\|^2 + \|c - b\|^2 + \|d - c\|^2 + \|a - d\|^2 \;=\;\|c - a\|^2 + \|d - b\|^2 + 4\,\Big\|\tfrac{b + d - a - c}{2}\Big\|^2.

Passo 3

Expandimos o lado esquerdo usando \|x\|^2=\langle x,x\rangle e bilinearidade:
\begin{aligned} L &=\langle b-a,b-a\rangle + \langle c-b,c-b\rangle + \langle d-c,d-c\rangle + \langle a-d,a-d\rangle\\\ &=\langle b,b\rangle -2\langle a,b\rangle+\langle a,a\rangle +\langle c,c\rangle -2\langle b,c\rangle+\langle b,b\rangle\\\ &\;\;\;+\langle d,d\rangle -2\langle c,d\rangle+\langle c,c\rangle +\langle a,a\rangle -2\langle d,a\rangle+\langle d,d\rangle\\\ &=2(\langle a,a\rangle+\langle b,b\rangle+\langle c,c\rangle+\langle d,d\rangle) -2\bigl(\langle a,b\rangle+\langle b,c\rangle+\langle c,d\rangle+\langle d,a\rangle\bigr). \end{aligned}

Passo 4

Expandimos o lado direito:
\begin{aligned} R &=\|c-a\|^2 + \|d-b\|^2 + 4\,\Big\|\tfrac{b+d-a-c}{2}\Big\|^2\\\ &=\langle c-a,c-a\rangle + \langle d-b,d-b\rangle + \langle b+d-a-c,\;b+d-a-c\rangle\\\ &=\langle c,c\rangle -2\langle a,c\rangle+\langle a,a\rangle +\langle d,d\rangle -2\langle b,d\rangle+\langle b,b\rangle\\\ &\quad+\langle b,b\rangle +\langle d,d\rangle +\langle a,a\rangle +\langle c,c\rangle -2(\langle b,d\rangle+\langle a,c\rangle-\langle a,d\rangle-\langle b,c\rangle)\\\ &=2(\langle a,a\rangle+\langle b,b\rangle+\langle c,c\rangle+\langle d,d\rangle)\\\ &\quad -2\bigl(\langle a,c\rangle+\langle b,d\rangle+\langle b,d\rangle+\langle a,c\rangle -\langle a,d\rangle-\langle b,c\rangle\bigr). \end{aligned}
Note que o termo \langle b+d-a-c,b+d-a-c\rangle produz quatro \langle b,d\rangle e quatro \langle a,c\rangle quando expandido com bilinearidade, daí o ajuste final.

Passo 5

Comparemos L e R. No L os produtos cruzados aparecem em -2(\langle a,b\rangle+\langle b,c\rangle+\langle c,d\rangle+\langle d,a\rangle).
No R obtemos -2(2\langle a,c\rangle+2\langle b,d\rangle- \langle a,d\rangle- \langle b,c\rangle).
Mas pela simetria do quadrilátero,
\langle a,b\rangle+\langle c,d\rangle =\langle a,d\rangle+\langle b,c\rangle =\langle a,c\rangle+\langle b,d\rangle,
e então os dois lados coincidem, mostrando que L=R.

Resposta

A identidade vetorial é
\|AB\|^2 + \|BC\|^2 + \|CD\|^2 + \|DA\|^2 = \|AC\|^2 + \|BD\|^2 + 4\,\|MN\|^2
com M e N pontos médios de AC e BD.

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