O teorema de geometria enunciado a seguir sugere uma identidade vectorial relativa a três vectores A, B e C. Dizer qual é a identidade e provar que se verifica para vectores de V_{n^{*}}. Tal identidade proporciona uma demonstração do teorema por métodos vectoriais.
“A soma dos quadrados dos lados de um quadrilatero qualquer excede a soma dos quadrados das diagonais em quatro vezes o quadrado do comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais”.
Passo 1
O enunciado diz que, num quadrilátero qualquer ABCD, vale a relação
onde M e N são os pontos médios das diagonais AC e BD.
O conteúdo é uma identidade vetorial em \,V_{n}^* (espaço com produto interno): vamos usar a definição de norma \|x\|^2=\langle x,x\rangle e a bilinearidade do produto escalar para provar essa igualdade.
Passo 2
Escolhemos sistemas de vetores posição: a, b, c, d são os vetores posição de A,B,C,D.
Então
AB = b - a,\;BC = c - b,\;CD = d - c,\;DA = a - d,
Note que o termo \langle b+d-a-c,b+d-a-c\rangle produz quatro \langle b,d\rangle e quatro \langle a,c\rangle quando expandido com bilinearidade, daí o ajuste final.
Passo 5
Comparemos L e R. No L os produtos cruzados aparecem em -2(\langle a,b\rangle+\langle b,c\rangle+\langle c,d\rangle+\langle d,a\rangle).
No R obtemos -2(2\langle a,c\rangle+2\langle b,d\rangle- \langle a,d\rangle- \langle b,c\rangle).
Mas pela simetria do quadrilátero,