Para cada , consideremos a matriz .
(a) Mostre que , onde .
(b) Mostre que é invertível.
(c) Mostre que .
(d) Calcule .
(e) Calcule e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos resolver aqui! O exercício envolve matrizes, funções trigonométricas e algumas propriedades importantes como multiplicação de matrizes e inversibilidade. Vamos precisar conhecer como multiplicar matrizes, entender o que significa uma matriz ser invertível e como calcular potências de matrizes. Vamos resolver cada parte passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes 2x2. Se temos duas matrizes:
A multiplicação resulta em:
Agora, vamos multiplicar e :
Calculando :
Simplificando:
Agora, usamos as identidades trigonométricas:
Então, a matriz resultante fica:
Passo 3
Parte (b): Mostrar que é invertível
Para uma matriz ser invertível, seu determinante não pode ser zero. Vamos calcular o determinante de :
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Como , a matriz é invertível.
Passo 4
Parte (c): Mostrar que
Primeiro, vamos calcular :
Agora, o transposto de T(alpha) é:
[T(alpha)]^t = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha
Perceba que T(-alpha) = [T(alpha)]^t .
Já sabemos que T(alpha) é invertível e que seu inverso é igual ao transposto quando a matriz é ortogonal. Como T(alpha) preserva o produto interno (múltiplo de uma matriz de rotação), ela é ortogonal, então:
[T(alpha)]^-1 = [T(alpha)]^t = T(-alpha)
Passo 5
Parte (d): Calcular T(pi / 3)
Vamos substituir alpha = pi/3 na matriz T(alpha) :
T(pi3) = cos(pi3) & -sin(pi3) sin(pi3) & cos(pi3)
Sabendo que:
cos(pi3) = 12, sin(pi3) = raiz32
Substituindo:
T(pi3) = 12 & -raiz32 raiz32 & 12
Passo 6
Parte (e): Calcular [T(2pi / 3)]^3 e [T(2pi / 3)]^31
Primeiro, vamos entender que elevar a matriz T(theta) à potência n equivale a rotacionar n vezes o ângulo theta . Portanto:
[T(theta)]^n = T(ntheta)
Calculando [T(2pi / 3)]^3 :
[T(2pi / 3)]^3 = T(3 cdot 2pi / 3) = T(2pi)
Sabemos que:
cos(2pi) = 1, sin(2pi) = 0
Então:
T(2pi) = 1 & 0 0 & 1 = I
Calculando [T(2pi / 3)]^31 :
Vamos simplificar o ângulo:
31 cdot 2pi3 = 62pi3 = 20pi + 2pi3
Como a função cosseno e seno são periódicas com período 2pi , podemos reduzir:
62pi3 = 20 cdot 2pi + 2pi3 = 2pi3
Portanto:
[T(2pi / 3)]^31 = T(2pi3)
Resposta
(a) T(alpha) cdot T(beta) = T(alpha + beta)
(b) T(alpha) é invertível.
(c) T(-alpha) = [T(alpha)]^t = [T(alpha)]^-1
(d) T(pi3) = 12 & -raiz32 raiz32 & 12
(e) [T(2pi / 3)]^3 = I e [T(2pi / 3)]^31 = T(2pi3)