Para cada alpha in R, consideremos a matriz T(alpha)=[cccos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha].
(a) Mostre que T(alpha) cdot T(beta)=T(alpha+beta), onde beta in R.
(b) Mostre que T(alpha) é invertível.
(c) Mostre que T(-alpha)=[T(alpha)]^t=[T(alpha)]^-1.
(d) Calcule T(pi / 3).
(e) Calcule [T(2 pi / 3)]^3 e [T(2 pi / 3)]^31.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos resolver aqui! O exercício envolve matrizes, funções trigonométricas e algumas propriedades importantes como multiplicação de matrizes e inversibilidade. Vamos precisar conhecer como multiplicar matrizes, entender o que significa uma matriz ser invertível e como calcular potências de matrizes. Vamos resolver cada parte passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que T(alpha) cdot T(beta) = T(alpha + beta)
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes 2x2. Se temos duas matrizes:
A = a & b c & d , B = e & f g & h
A multiplicação A cdot B resulta em:
A cdot B = ae + bg & af + bh ce + dg & cf + dh
Agora, vamos multiplicar T(alpha) e T(beta) :
T(alpha) = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha , T(beta) = cos beta & -sin beta sin beta & cos beta
Calculando T(alpha) cdot T(beta) :
T(alpha) cdot T(beta) = cos alpha cos beta + (-sin alpha)(sin beta) & cos alpha (-sin beta) + (-sin alpha) cos beta sin alpha cos beta + cos alpha sin beta & sin alpha (-sin beta) + cos alpha cos beta
Simplificando:
= cos alpha cos beta - sin alpha sin beta & -cos alpha sin beta - sin alpha cos beta sin alpha cos beta + cos alpha sin beta & -sin alpha sin beta + cos alpha cos beta
Agora, usamos as identidades trigonométricas:
cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
Então, a matriz resultante fica:
T(alpha) cdot T(beta) = cos(alpha + beta) & -sin(alpha + beta) sin(alpha + beta) & cos(alpha + beta) = T(alpha + beta)

Passo 3

Parte (b): Mostrar que T(alpha) é invertível
Para uma matriz ser invertível, seu determinante não pode ser zero. Vamos calcular o determinante de T(alpha) :
det(T(alpha)) = cos alpha cdot cos alpha - (-sin alpha) cdot sin alpha = cos^2 alpha + sin^2 alpha
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1
Como det(T(alpha)) = 1 neq 0 , a matriz T(alpha) é invertível.

Passo 4

Parte (c): Mostrar que T(-alpha) = [T(alpha)]^t = [T(alpha)]^-1
Primeiro, vamos calcular T(-alpha) :
T(-alpha) = cos(-alpha) & -sin(-alpha) sin(-alpha) & cos(-alpha) = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha
Agora, o transposto de T(alpha) é:
[T(alpha)]^t = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha
Perceba que T(-alpha) = [T(alpha)]^t .
Já sabemos que T(alpha) é invertível e que seu inverso é igual ao transposto quando a matriz é ortogonal. Como T(alpha) preserva o produto interno (múltiplo de uma matriz de rotação), ela é ortogonal, então:
[T(alpha)]^-1 = [T(alpha)]^t = T(-alpha)

Passo 5

Parte (d): Calcular T(pi / 3)
Vamos substituir alpha = pi/3 na matriz T(alpha) :
T(pi3) = cos(pi3) & -sin(pi3) sin(pi3) & cos(pi3)
Sabendo que:
cos(pi3) = 12, sin(pi3) = raiz32
Substituindo:
T(pi3) = 12 & -raiz32 raiz32 & 12

Passo 6

Parte (e): Calcular [T(2pi / 3)]^3 e [T(2pi / 3)]^31
Primeiro, vamos entender que elevar a matriz T(theta) à potência n equivale a rotacionar n vezes o ângulo theta . Portanto:
[T(theta)]^n = T(ntheta)
Calculando [T(2pi / 3)]^3 :
[T(2pi / 3)]^3 = T(3 cdot 2pi / 3) = T(2pi)
Sabemos que:
cos(2pi) = 1, sin(2pi) = 0
Então:
T(2pi) = 1 & 0 0 & 1 = I
Calculando [T(2pi / 3)]^31 :
Vamos simplificar o ângulo:
31 cdot 2pi3 = 62pi3 = 20pi + 2pi3
Como a função cosseno e seno são periódicas com período 2pi , podemos reduzir:
62pi3 = 20 cdot 2pi + 2pi3 = 2pi3
Portanto:
[T(2pi / 3)]^31 = T(2pi3)

Resposta

(a) T(alpha) cdot T(beta) = T(alpha + beta)
(b) T(alpha) é invertível.
(c) T(-alpha) = [T(alpha)]^t = [T(alpha)]^-1
(d) T(pi3) = 12 & -raiz32 raiz32 & 12
(e) [T(2pi / 3)]^3 = I e [T(2pi / 3)]^31 = T(2pi3)

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