Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
Se é subespaço vetorial de .
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Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui! A questão fala sobre espaços vetoriais, que é um conceito da Álgebra Linear. Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Se W é um subespaço vetorial de V , u in V e alpha neq 0 são tais que u notin W , então alpha u notin W .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como as operações com vetores funcionam dentro desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço W de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: 0 in W .
  2. É fechado para adição: Se u, v in W , então u + v in W .
  3. É fechado para multiplicação por escalar: Se u in W e alpha é um escalar, então alpha u in W .

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação passo a passo. A afirmação diz que se u está em V mas não está em W , então qualquer múltiplo escalar de u por um número diferente de zero ( alpha neq 0 ) também não está em W .
Vamos supor que alpha u está em W . Como W é um subespaço vetorial, ele é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que podemos multiplicar alpha u por 1alpha (já que alpha neq 0 ) e obter:
1alpha (alpha u) = u
Portanto, u estaria em W , o que contraria nossa suposição de que u notin W .

Passo 4

Esse contradição nos mostra que nossa suposição inicial estava errada. Ou seja, se u notin W , então não é possível que alpha u in W quando alpha neq 0 . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se W é um subespaço vetorial de V , u in V , u notin W e alpha neq 0 , então alpha u notin W .

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