Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
Se
é subespaço vetorial de .
1
Se
1
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui! A questão fala sobre espaços vetoriais, que é um conceito da Álgebra Linear. Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Se
é um subespaço vetorial de
,
e
são tais que
, então
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como as operações com vetores funcionam dentro desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero:
. - É fechado para adição: Se
, então . - É fechado para multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação passo a passo. A afirmação diz que se
está em
mas não está em
, então qualquer múltiplo escalar de
por um número diferente de zero (
) também não está em
.
Vamos supor que
está em
. Como
é um subespaço vetorial, ele é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que podemos multiplicar
por
(já que
) e obter:
Portanto,
estaria em
, o que contraria nossa suposição de que
.
Passo 4
Esse contradição nos mostra que nossa suposição inicial estava errada. Ou seja, se
, então não é possível que
quando
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é um subespaço vetorial de
,
,
e
, então
.