Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V dado.
V=Pn(R) e $W=\left{p \in P_{n}(\mathbb{R}): p^{\prime}(t)=0, \forall t \in \mathbb{R}\right}.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de espaços vetoriais. Aqui, temos o espaço vetorial V = Pn(R) , que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau no máximo n . O subconjunto W é definido como W = p in Pn(R) : p'(t) = 0, forall t in R . Nosso objetivo é verificar se W é um subespaço de V .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa p'(t) = 0 para todo t in R . A derivada de um polinômio p(t) sendo zero em todos os pontos significa que o polinômio é constante. Isso porque se a derivada de uma função é zero em todos os pontos, a função não varia; ela é uma constante.

Passo 3

Então, o conjunto W consiste de todos os polinômios constantes em Pn(R) . Vamos verificar se W satisfaz as três condições para ser um subespaço:
  1. Contém o vetor zero: O polinômio zero p(t) = 0 é constante, então está em W .
  2. Fechado sob adição: Se p(t) e q(t) são constantes, então p(t) + q(t) também é constante.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se p(t) é constante e c é um escalar, então c cdot p(t) também é constante.

Passo 4

Vamos verificar cada condição:
  1. Contém o vetor zero: Claro, p(t) = 0 está em W porque sua derivada é zero.
  2. Fechado sob adição: Suponha que p(t) = a e q(t) = b , onde a e b são constantes. Então, p(t) + q(t) = a + b , que é constante, logo está em W .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se p(t) = a e c é um escalar, então c cdot p(t) = c cdot a , que também é constante e está em W .

Resposta

Como W satisfaz todas as condições necessárias, concluímos que W é um subespaço do espaço vetorial V = Pn(R) .

Exercícios relacionados