Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
dado.
e $W=\left{p \in P_{n}(\mathbb{R}): p^{\prime}(t)=0, \forall t \in \mathbb{R}\right}.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de espaços vetoriais. Aqui, temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau no máximo
. O subconjunto
é definido como
. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
para todo
. A derivada de um polinômio
sendo zero em todos os pontos significa que o polinômio é constante. Isso porque se a derivada de uma função é zero em todos os pontos, a função não varia; ela é uma constante.
Passo 3
Então, o conjunto
consiste de todos os polinômios constantes em
. Vamos verificar se
satisfaz as três condições para ser um subespaço:
- Contém o vetor zero: O polinômio zero
é constante, então está em . - Fechado sob adição: Se
e são constantes, então também é constante. - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
é constante e é um escalar, então também é constante.
Passo 4
Vamos verificar cada condição:
- Contém o vetor zero: Claro,
está em porque sua derivada é zero. - Fechado sob adição: Suponha que
e , onde e são constantes. Então, , que é constante, logo está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então , que também é constante e está em .
Resposta
Como
satisfaz todas as condições necessárias, concluímos que
é um subespaço do espaço vetorial
.