Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
Se
é subespaço vetorial de
e .
Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço vetorial
de um espaço vetorial
. Dois vetores
e
pertencem a
, mas não estão em
. A afirmação diz que, nesse caso, a soma desses vetores
também não está em
. Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços e operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de
é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades:
- O vetor zero está em
. - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar, então está em .
Essas propriedades garantem que
é “fechado” sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se
e
não estão em
, então
também não está em
. Vamos verificar se isso é sempre verdade.
Passo 4
Para testar a veracidade dessa afirmação, podemos tentar encontrar um contraexemplo. Um contraexemplo é um caso específico onde a afirmação não se sustenta, provando que ela é falsa.
Passo 5
Vamos considerar o espaço vetorial
e definir o subespaço
como o eixo
, ou seja,
.
Passo 6
Escolha dois vetores que não estão em
. Por exemplo:
-
que não está em porque sua segunda coordenada não é zero. -
que também não está em pelas mesmas razões.
Passo 7
Vamos somar esses vetores:
Passo 8
Agora, verificamos se
está em
. O vetor resultante é
, cuja segunda coordenada é 2, diferente de zero. Portanto,
não está em
.
Passo 9
No entanto, para tornar o contraexemplo válido, precisamos que
esteja em
. Vamos ajustar os vetores:
O vetor
está em qualquer subespaço vetorial, incluindo
.
Passo 10
Aqui, ambos
e
não estão em
, mas sua soma
está em
. Isso viola a afirmação original.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é considerar
,
sendo o eixo
, e os vetores
e
. Ambos
e
não estão em
, mas
está em
.