Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
Se é subespaço vetorial de e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço vetorial W de um espaço vetorial V . Dois vetores u e v pertencem a V , mas não estão em W . A afirmação diz que, nesse caso, a soma desses vetores u + v também não está em W . Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço W de V é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades:
  1. O vetor zero está em W .
  2. Se u e v estão em W , então u + v também está em W .
  3. Se u está em W e c é um escalar, então c cdot u está em W .
Essas propriedades garantem que W é “fechado” sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se u e v não estão em W , então u + v também não está em W . Vamos verificar se isso é sempre verdade.

Passo 4

Para testar a veracidade dessa afirmação, podemos tentar encontrar um contraexemplo. Um contraexemplo é um caso específico onde a afirmação não se sustenta, provando que ela é falsa.

Passo 5

Vamos considerar o espaço vetorial V = R^2 e definir o subespaço W como o eixo x , ou seja, W = (x, 0) | x in R .

Passo 6

Escolha dois vetores que não estão em W . Por exemplo:
  • u = (1, 1) que não está em W porque sua segunda coordenada não é zero.
  • v = (-1, 1) que também não está em W pelas mesmas razões.

Passo 7

Vamos somar esses vetores:
u + v = (1, 1) + (-1, 1) = (0, 2)

Passo 8

Agora, verificamos se u + v está em W . O vetor resultante é (0, 2) , cuja segunda coordenada é 2, diferente de zero. Portanto, u + v não está em W .

Passo 9

No entanto, para tornar o contraexemplo válido, precisamos que u + v esteja em W . Vamos ajustar os vetores:
  • u = (1, 1)
  • v = (-1, 1)
u + v = (1, 1) + (-1, -1) = (0, 0)
O vetor (0, 0) está em qualquer subespaço vetorial, incluindo W .

Passo 10

Aqui, ambos u e v não estão em W , mas sua soma u + v = (0, 0) está em W . Isso viola a afirmação original.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é considerar V = R^2 , W sendo o eixo x , e os vetores u = (1, 1) e v = (-1, -1) . Ambos u e v não estão em W , mas u + v = (0, 0) está em W .

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