Em cada alternativa, calcule o produto vetorial entre
e
e mostre que o vetor obtido é ortogonal à
e também à
.
(a)
e
(b)
e
(c)
e
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto vetorial entre dois vetores, chamado de
e
, para cada alternativa (a, b e c). Além disso, vamos mostrar que o vetor resultante desse produto vetorial é ortogonal, ou seja, perpendicular, tanto a
quanto a
. Para isso, vamos usar a definição de produto vetorial e algumas propriedades de vetores.
Passo 2
Alternativa (a):
e
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
. A fórmula para o produto vetorial entre dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Agora, vamos verificar se esse vetor é ortogonal a
e
. Para isso, calculamos o produto interno (dot product) entre
e
, e entre
e
. Se o resultado for zero, os vetores são ortogonais.
Produto interno com
:
Produto interno com
:
Como ambos os produtos internos deram zero, o vetor
é realmente ortogonal a
e
.
Passo 3
Alternativa (b):
e
Primeiro, vamos expressar os vetores em forma de coordenadas:
Agora, calculamos o produto vetorial
usando a mesma fórmula:
Vamos simplificar para facilitar:
Agora, verificamos a ortogonalidade:
Produto interno com
:
Produto interno com
:
Mais uma vez, os produtos internos deram zero, confirmando que
é ortogonal a
e
.
Passo 4
Alternativa (c):
e
Vamos calcular o produto vetorial
de forma geral, em termos de
.
Usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando cada componente:
- Primeiro componente:
- Segundo componente:
- Terceiro componente:
Portanto,
Agora, vamos verificar se esse vetor é ortogonal a
e
.
Produto interno com
:
Produto interno com
:
Como os produtos internos deram zero, o vetor
é ortogonal a
e
para qualquer valor de
.
Resposta
A seguir estão os produtos vetoriais e suas respectivas ortogonalidades para cada alternativa:
(a)
, ortogonal a
e
.
(b)
, ortogonal a
e
.
(c)
, ortogonal a
e
.