Em cada alternativa, calcule o produto vetorial entre a e b e mostre que o vetor obtido é ortogonal à a e também à b.
(a) a=(1,2,0) e b=(0,3,1)
(b) a=imath+3 jmath-2 k e b=-imath+5 k
(c) a=(t, t^2, t^3) e b=(1,2 t, 3 t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto vetorial entre dois vetores, chamado de a e b, para cada alternativa (a, b e c). Além disso, vamos mostrar que o vetor resultante desse produto vetorial é ortogonal, ou seja, perpendicular, tanto a a quanto a b. Para isso, vamos usar a definição de produto vetorial e algumas propriedades de vetores.

Passo 2

Alternativa (a): a = (1, 2, 0) e b = (0, 3, 1)
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a times b. A fórmula para o produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, , a3 b1 - a1 b3, , a1 b2 - a2 b1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
a times b = ( 2 times 1 - 0 times 3, , 0 times 0 - 1 times 1, , 1 times 3 - 2 times 0 ) = (2, -1, 3)
Agora, vamos verificar se esse vetor é ortogonal a a e b. Para isso, calculamos o produto interno (dot product) entre a e a times b, e entre b e a times b. Se o resultado for zero, os vetores são ortogonais.
Produto interno com a:
a cdot (a times b) = 1 times 2 + 2 times (-1) + 0 times 3 = 2 - 2 + 0 = 0
Produto interno com b:
b cdot (a times b) = 0 times 2 + 3 times (-1) + 1 times 3 = 0 - 3 + 3 = 0
Como ambos os produtos internos deram zero, o vetor a times b = (2, -1, 3) é realmente ortogonal a a e b.

Passo 3

Alternativa (b): a = imath + 3 jmath - 2 k e b = -imath + 5 k
Primeiro, vamos expressar os vetores em forma de coordenadas:
a = (1, 3, -2) e b = (-1, 0, 5)
Agora, calculamos o produto vetorial a times b usando a mesma fórmula:
a times b = ( 3 times 5 - (-2) times 0, , (-2) times (-1) - 1 times 5, , 1 times 0 - 3 times (-1) ) = (15, 2 - 5, 0 + 3) = (15, -3, 3)
Vamos simplificar para facilitar:
a times b = (15, -3, 3)
Agora, verificamos a ortogonalidade:
Produto interno com a:
a cdot (a times b) = 1 times 15 + 3 times (-3) + (-2) times 3 = 15 - 9 - 6 = 0
Produto interno com b:
b cdot (a times b) = (-1) times 15 + 0 times (-3) + 5 times 3 = -15 + 0 + 15 = 0
Mais uma vez, os produtos internos deram zero, confirmando que a times b = (15, -3, 3) é ortogonal a a e b.

Passo 4

Alternativa (c): a = (t, t^2, t^3) e b = (1, 2 t, 3 t^2)
Vamos calcular o produto vetorial a times b de forma geral, em termos de t.
Usando a fórmula:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, , a3 b1 - a1 b3, , a1 b2 - a2 b1 )
Substituindo os valores:
a times b = ( t^2 times 3 t^2 - t^3 times 2 t, , t^3 times 1 - t times 3 t^2, , t times 2 t - t^2 times 1 )
Calculando cada componente:
  1. Primeiro componente:
t^2 times 3 t^2 = 3 t^4
t^3 times 2 t = 2 t^4
3 t^4 - 2 t^4 = t^4
  1. Segundo componente:
t^3 times 1 = t^3
t times 3 t^2 = 3 t^3
t^3 - 3 t^3 = -2 t^3
  1. Terceiro componente:
t times 2 t = 2 t^2
t^2 times 1 = t^2
2 t^2 - t^2 = t^2
Portanto,
a times b = ( t^4, -2 t^3, t^2 )
Agora, vamos verificar se esse vetor é ortogonal a a e b.
Produto interno com a:
a cdot (a times b) = t times t^4 + t^2 times (-2 t^3) + t^3 times t^2 = t^5 - 2 t^5 + t^5 = 0
Produto interno com b:
b cdot (a times b) = 1 times t^4 + 2 t times (-2 t^3) + 3 t^2 times t^2 = t^4 - 4 t^4 + 3 t^4 = 0
Como os produtos internos deram zero, o vetor a times b = ( t^4, -2 t^3, t^2 ) é ortogonal a a e b para qualquer valor de t.

Resposta

A seguir estão os produtos vetoriais e suas respectivas ortogonalidades para cada alternativa:
(a) a times b = (2, -1, 3), ortogonal a a e b.
(b) a times b = (15, -3, 3), ortogonal a a e b.
(c) a times b = ( t^4, -2 t^3, t^2 ), ortogonal a a e b.

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