Encontre os valores de a para que os vetores u=(a-1,1,-2), v=(0, a+1,-1) e w=(-1,1, a+2) sejam coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de a para que os vetores u = (a-1, 1, -2), v = (0, a+1, -1) e w = (-1, 1, a+2) sejam coplanares. Isso tá relacionado com o conteúdo de álgebra vetorial, mais especificamente com a condição de coplanaridade usando o produto misto dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que três vetores são coplanares se o produto misto deles for zero. O produto misto é calculado como u cdot (v times w). Então, vamos precisar calcular o produto vetorial de v e w e depois fazer o produto escalar desse resultado com u.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times w. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) é:
v times w = ( v2w3 - v3w2, v3w1 - v1w3, v1w2 - v2w1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
v times w = ( (a+1)(a+2) - (-1)(1), (-1)(-1) - 0(a+2), 0(1) - (a+1)(-1) )
Simplificando cada componente:
v times w = ( (a+1)(a+2) + 1, 1 - 0, 0 + (a+1) ) = ( a^2 + 3a + 3, 1, a+1 )

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w). O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e d = (d1, d2, d3) é:
u cdot d = u1d1 + u2d2 + u3d3
Aplicando isso:
u cdot (v times w) = (a-1)(a^2 + 3a + 3) + (1)(1) + (-2)(a+1)
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
= (a-1)(a^2 + 3a + 3) + 1 - 2(a + 1)
= a(a^2 + 3a + 3) - 1(a^2 + 3a + 3) + 1 - 2a - 2
= a^3 + 3a^2 + 3a - a^2 - 3a - 3 + 1 - 2a - 2
= a^3 + 2a^2 - 2a - 4

Passo 5

Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto deve ser zero:
a^3 + 2a^2 - 2a - 4 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de a .

Passo 6

Vamos tentar fatorar a equação a^3 + 2a^2 - 2a - 4 = 0 . Testando possíveis raízes racionais (usando o Teorema das Raízes Racionais), tentamos a = 1 :
1^3 + 2(1)^2 - 2(1) - 4 = 1 + 2 - 2 - 4 = -3 neq 0
Agora, tentamos a = 2 :
2^3 + 2(2)^2 - 2(2) - 4 = 8 + 8 - 4 - 4 = 8 neq 0
Teste a = -1 :
(-1)^3 + 2(-1)^2 - 2(-1) - 4 = -1 + 2 + 2 - 4 = -1 neq 0
Teste a = -2 :
(-2)^3 + 2(-2)^2 - 2(-2) - 4 = -8 + 8 + 4 - 4 = 0
Então, a = -2 é uma raiz. Vamos fatorar:
(a + 2)(a^2 + 0a - 2) = 0
Agora, resolvemos a^2 - 2 = 0 :
a^2 = 2 implies a = raiz2 ou a = -raiz2

Resposta

Os valores de a que tornam os vetores u, v e w coplanares são:
a = -2, a = raiz2, e a = -raiz2

Exercícios relacionados