Encontre os valores de
para que os vetores
e
sejam coplanares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
para que os vetores
,
e
sejam coplanares. Isso tá relacionado com o conteúdo de álgebra vetorial, mais especificamente com a condição de coplanaridade usando o produto misto dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que três vetores são coplanares se o produto misto deles for zero. O produto misto é calculado como
. Então, vamos precisar calcular o produto vetorial de
e
e depois fazer o produto escalar desse resultado com
.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é:
Aplicando isso:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Passo 5
Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto deve ser zero:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 6
Vamos tentar fatorar a equação
. Testando possíveis raízes racionais (usando o Teorema das Raízes Racionais), tentamos
:
Agora, tentamos
:
Teste
:
Teste
:
Então,
é uma raiz. Vamos fatorar:
Agora, resolvemos
:
Resposta
Os valores de
que tornam os vetores
,
e
coplanares são: