Determine o valor de
para que o ângulo entre os vetores
e
seja
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano:
e
. O objetivo é encontrar o valor de
que faz com que o ângulo entre esses dois vetores seja
(ou seja, 45 graus).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos relembrar a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores com o produto escalar e as magnitudes desses vetores. A fórmula é:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as magnitudes (ou normas) dos vetores. -
é o ângulo entre os vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Para isso, multiplicamos componente a componente dos vetores e somamos os resultados:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores
e
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 5
Substituímos agora os valores encontrados na fórmula do cosseno do ângulo:
Sabemos que
, então temos:
Passo 6
Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 7
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 8
Vamos isolar
:
Resposta
O valor de
que faz o ângulo entre os vetores
e
ser
é
.