Determine o valor de a para que o ângulo entre os vetores u=(1,-1) e v=(2, a+1) seja pi4.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano: u = (1, -1) e v = (2, a+1). O objetivo é encontrar o valor de a que faz com que o ângulo entre esses dois vetores seja pi4 (ou seja, 45 graus).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos relembrar a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores com o produto escalar e as magnitudes desses vetores. A fórmula é:
cos theta = u cdot v||u|| cdot ||v||
Onde:
  • u cdot v é o produto escalar dos vetores.
  • ||u|| e ||v|| são as magnitudes (ou normas) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. Para isso, multiplicamos componente a componente dos vetores e somamos os resultados:
u cdot v = (1)(2) + (-1)(a+1) = 2 - a - 1 = 1 - a

Passo 4

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores ||u|| e ||v||. A magnitude de um vetor w = (w1, w2) é dada por:
||w|| = raizw1^2 + w2^2
Aplicando isso aos nossos vetores:
||u|| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
||v|| = raiz2^2 + (a+1)^2 = raiz4 + (a+1)^2

Passo 5

Substituímos agora os valores encontrados na fórmula do cosseno do ângulo:
cos (pi4) = 1 - araiz2 cdot raiz4 + (a+1)^2
Sabemos que cos (pi4) = raiz22, então temos:
raiz22 = 1 - araiz2 cdot raiz4 + (a+1)^2

Passo 6

Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por raiz2 cdot raiz4 + (a+1)^2:
raiz22 cdot raiz2 cdot raiz4 + (a+1)^2 = 1 - a
Simplificando:
22 cdot raiz4 + (a+1)^2 = 1 - a
Ou seja:
raiz4 + (a+1)^2 = 1 - a

Passo 7

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
4 + (a+1)^2 = (1 - a)^2
Expandindo os termos:
4 + a^2 + 2a + 1 = 1 - 2a + a^2
Simplificando:
5 + 2a = 1 - 2a

Passo 8

Vamos isolar a:
2a + 2a = 1 - 5
4a = -4
a = -1

Resposta

O valor de a que faz o ângulo entre os vetores u e v ser pi4 é a = -1.

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