Quando necessário, considere a observação (*) e verifique se os seguintes vetores são paralelos:
(a) u=(-2,1) e v=12 imath-14 jmath
(b) u=(2,0,1) e v=(10,0,5)
(c) u=3 imath-jmath+2 k, v=(-9,3,-6) e w=32 imath-12 jmath+12 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se certos vetores são paralelos. Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos: basicamente, se um vetor é múltiplo do outro por um número real, então eles são paralelos.

Passo 2

Parte (a): Temos os vetores u=(-2,1) e v=12 imath-14 jmath. Primeiro, precisamos ver se existe um número real k tal que u = k cdot v.
Vamos comparar as componentes:
  • Para imath: -2 = k cdot 12
  • Para jmath: 1 = k cdot (-14)
Resolvendo a primeira equação: k = -212 = -4
Agora, verificamos se esse k satisfaz a segunda equação: 1 = (-4) cdot (-14) = 1
Como o valor de k funciona para ambas as componentes, os vetores são paralelos.

Passo 3

Parte (b): Agora, temos u=(2,0,1) e v=(10,0,5). Vamos verificar se existe um k tal que u = k cdot v.
Comparando as componentes:
  • Para a primeira componente: 2 = k cdot 10 k = 210 = 0,2
  • Para a segunda componente: 0 = k cdot 0 → Aqui, qualquer k satisfaz, mas já temos k=0,2.
  • Para a terceira componente: 1 = k cdot 5 k = 15 = 0,2
Como o valor de k é o mesmo em todas as componentes, os vetores são paralelos.

Passo 4

Parte (c): Temos três vetores: u=3 imath-jmath+2 k, v=(-9,3,-6) e w=32 imath-12 jmath+12 k. Vamos verificar se são paralelos entre si.
Primeiro, vamos comparar u e v:
  • Para imath: 3 = k cdot (-9) k = -13
  • Para jmath: -1 = k cdot 3 k = -13
  • Para k: 2 = k cdot (-6) k = -13
Todas as componentes têm o mesmo k, então u e v são paralelos.
Agora, vamos comparar u e w:
  • Para imath: 3 = k cdot 32 k = 2
  • Para jmath: -1 = k cdot (-12) k = 2
  • Para k: 2 = k cdot 12 k = 4
Aqui, o k não é o mesmo para todas as componentes, então u e w não são paralelos.

Resposta

(a) Os vetores são paralelos.
(b) Os vetores são paralelos.
(c) u e v são paralelos, mas u e w não são paralelos.

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