Em cada alternativa, decomponha o vetor u na forma u=w1+w2, onde w1 é paralelo à v e w2 é ortogonal à v.
(a) u=(4,-3,-2) e v=(1,-1,0)
(b) u=(12,-1,-13) e v=(1,-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de decompor o vetor u na soma de dois vetores: w1, que é paralelo a v, e w2, que é ortogonal a v. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de projeções de vetores. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados no item (a): u = (4, -3, -2) e v = (1, -1, 0). Nosso objetivo é encontrar w1, que é a projeção de u sobre v, e depois w2, que é o restante de u após a projeção.

Passo 3

A fórmula para a projeção de u sobre v é:
w1 = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (4)(1) + (-3)(-1) + (-2)(0) = 4 + 3 + 0 = 7
E o produto escalar v cdot v:
v cdot v = (1)^2 + (-1)^2 + (0)^2 = 1 + 1 + 0 = 2

Passo 5

Agora, aplicamos esses valores na fórmula da projeção:
w1 = ( 72 ) v = ( 72 ) (1, -1, 0) = ( 72, -72, 0 )

Passo 6

Para encontrar w2, subtraímos w1 de u:
w2 = u - w1 = (4, -3, -2) - ( 72, -72, 0 ) = (4 - 72, -3 - (-72), -2 - 0 )
Simplificando:
w2 = ( 12, 12, -2 )

Passo 7

Agora, vamos resolver o item (b). Aqui, os vetores dados são u = (12, -1, -13) e v = (1, -1, 0). Nosso objetivo continua sendo decompor u em w1 paralelo a v e w2 ortogonal a v.

Passo 8

Usaremos a mesma fórmula da projeção:
w1 = ( u cdot vv cdot v ) v

Passo 9

Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (12)(1) + (-1)(-1) + (-13)(0) = 12 + 1 + 0 = 32
E o produto escalar v cdot v continua sendo 2, como no item anterior.

Passo 10

Aplicamos os valores na fórmula da projeção:
w1 = ( 322 ) v = ( 34 ) (1, -1, 0) = ( 34, -34, 0 )

Passo 11

Para encontrar w2, subtraímos w1 de u:
w2 = u - w1 = ( 12, -1, -13 ) - ( 34, -34, 0 ) = ( 12 - 34, -1 - (-34), -13 - 0 )
Simplificando:
w2 = ( -14, -14, -13 )

Resposta

A decomposição do vetor u = (12, -1, -13) é:
u = w1 + w2 = ( 34, -34, 0 ) + ( -14, -14, -13 )

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