Em cada alternativa, decomponha o vetor na forma , onde w1 é paralelo à v e w2 é ortogonal à v.
(a) u=(4,-3,-2) e v=(1,-1,0)
(b) u=(12,-1,-13) e v=(1,-1,0)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de decompor o vetor u na soma de dois vetores: w1, que é paralelo a v, e w2, que é ortogonal a v. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de projeções de vetores. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores dados no item (a): u = (4, -3, -2) e v = (1, -1, 0). Nosso objetivo é encontrar w1, que é a projeção de u sobre v, e depois w2, que é o restante de u após a projeção.
Passo 3
A fórmula para a projeção de u sobre v é:
w1 = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, “cdot” representa o produto escalar entre os vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (4)(1) + (-3)(-1) + (-2)(0) = 4 + 3 + 0 = 7
E o produto escalar v cdot v:
v cdot v = (1)^2 + (-1)^2 + (0)^2 = 1 + 1 + 0 = 2
Passo 5
Agora, aplicamos esses valores na fórmula da projeção:
Agora, vamos resolver o item (b). Aqui, os vetores dados são u = (12, -1, -13) e v = (1, -1, 0). Nosso objetivo continua sendo decompor u em w1 paralelo a v e w2 ortogonal a v.
Passo 8
Usaremos a mesma fórmula da projeção:
w1 = ( u cdot vv cdot v ) v
Passo 9
Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (12)(1) + (-1)(-1) + (-13)(0) = 12 + 1 + 0 = 32
E o produto escalar v cdot v continua sendo 2, como no item anterior.