Mostre que 0 times u=0, sabendo que 0 é o vetor nulo do R^3 e u é um vetor qualquer do R^3.

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui um exercício que pede para mostrar que o produto vetorial do vetor zero com qualquer vetor u resulta no vetor zero, ou seja, 0 times u = 0. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre produto vetorial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor zero. No espaço tridimensional R^3, o vetor zero é aquele que tem todas as componentes iguais a zero, ou seja, 0 = (0, 0, 0). Já o vetor u é qualquer vetor nesse mesmo espaço, podendo ser escrito como u = (ux, uy, uz).

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores. Se temos dois vetores a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz), o produto vetorial a times b é dado por:
a times b = ( ay bz - az by, , az bx - ax bz, , ax by - ay bx )

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos 0 = (0, 0, 0) e u = (ux, uy, uz). Vamos calcular cada componente do produto vetorial:
0 times u = ( 0 cdot uz - 0 cdot uy, , 0 cdot ux - 0 cdot uz, , 0 cdot uy - 0 cdot ux )

Passo 5

Simplificando cada componente:
0 times u = ( 0 - 0, , 0 - 0, , 0 - 0 ) = (0, 0, 0)

Resposta

Portanto, 0 times u = 0.

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