Encontre os valores de
para que os vetores do espaço
e
tenham a mesma norma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de
que fazem com que os vetores
e
tenham a mesma norma. A matéria envolvida aqui são vetores e normas de vetores. Vamos precisar entender como calcular a norma de um vetor e igualar as normas desses dois vetores para descobrir os valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma, também conhecida como módulo ou comprimento de um vetor, é uma medida que indica o quão “grande” o vetor é. Para um vetor
, a norma é calculada usando a fórmula:
Passo 3
Vamos calcular a norma do vetor
:
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, elevamos cada componente ao quadrado:
Somando tudo dentro da raiz:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma do vetor
:
Simplificando cada termo:
Somando tudo dentro da raiz:
Passo 5
Para que os vetores
e
tenham a mesma norma, devemos igualar as duas expressões que encontramos:
Passo 6
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Passo 7
Vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Passo 8
Agora temos uma equação quadrática na forma
. Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 9
Aplicando os valores na fórmula:
Simplificando a raiz quadrada:
Então,
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são: