Encontre os valores de n para que os vetores do espaço u=(n2, 1, n-1) e v=(raiz2, 12, 0) tenham a mesma norma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de n que fazem com que os vetores u = (n2, 1, n-1) e v = (raiz2, 12, 0) tenham a mesma norma. A matéria envolvida aqui são vetores e normas de vetores. Vamos precisar entender como calcular a norma de um vetor e igualar as normas desses dois vetores para descobrir os valores de n .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma, também conhecida como módulo ou comprimento de um vetor, é uma medida que indica o quão “grande” o vetor é. Para um vetor w = (a, b, c), a norma é calculada usando a fórmula:
|w| = raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 3

Vamos calcular a norma do vetor u:
|u| = raiz(n2)^2 + 1^2 + (n - 1)^2
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, elevamos cada componente ao quadrado:
(n2)^2 = n^24, 1^2 = 1, (n - 1)^2 = n^2 - 2n + 1
Somando tudo dentro da raiz:
|u| = raizn^24 + 1 + n^2 - 2n + 1 = raiz5n^24 - 2n + 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma do vetor v:
|v| = raiz(raiz2)^2 + (12)^2 + 0^2
Simplificando cada termo:
(raiz2)^2 = 2, (12)^2 = 14, 0^2 = 0
Somando tudo dentro da raiz:
|v| = raiz2 + 14 = raiz94 = 32

Passo 5

Para que os vetores u e v tenham a mesma norma, devemos igualar as duas expressões que encontramos:
raiz5n^24 - 2n + 2 = 32

Passo 6

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(raiz5n^24 - 2n + 2)^2 = (32)^2
Simplificando:
5n^24 - 2n + 2 = 94

Passo 7

Vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
5n^2 - 8n + 8 = 9
Subtraindo 9 de ambos os lados:
5n^2 - 8n - 1 = 0

Passo 8

Agora temos uma equação quadrática na forma ax^2 + bx + c = 0 . Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
n = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 5 , b = -8 e c = -1 .

Passo 9

Aplicando os valores na fórmula:
n = -(-8) pm raiz(-8)^2 - 4 times 5 times (-1)2 times 5 = 8 pm raiz64 + 2010 = 8 pm raiz8410
Simplificando a raiz quadrada:
raiz84 = 2raiz21
Então,
n = 8 pm 2raiz2110 = 4 pm raiz215

Resposta

Os valores de n que satisfazem a condição são:
n = 4 + raiz215 e n = 4 - raiz215

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