Determine as coordenadas do vetor genérico do R^3 que seja:
(a) paralelo ao eixo x.
(e) ortogonal ao eixo y.
(b) localizado sobre o eixo z.
(f) ortogonal ao eixo z.
(c) paralelo ao plano x y.
(g) ortogonal ao plano x y.
(d) paralelo ao plano y z.
(h) ortogonal ao plano x z.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de vetores no espaço tridimensional, R^3. O objetivo é determinar as coordenadas de um vetor genérico que atenda a diferentes condições de paralelismo e ortogonalidade em relação aos eixos e planos coordenados. Para isso, vamos precisar entender o que significa um vetor ser paralelo ou ortogonal a um eixo ou plano específico.

Passo 2

Letra (a): Vetor paralelo ao eixo x.
Quando um vetor é paralelo ao eixo x, isso significa que ele só tem componente na direção desse eixo, ou seja, nas coordenadas (x, 0, 0). As componentes em y e z são zero porque o vetor não se estende nesses eixos.

Passo 3

Letra (b): Vetor localizado sobre o eixo z.
Um vetor localizado no eixo z possui apenas componente nessa direção, então suas coordenadas são (0, 0, z). As componentes em x e y são zero, indicando que o vetor não se estende nos eixos x e y.

Passo 4

Letra (c): Vetor paralelo ao plano xy.
Para um vetor ser paralelo ao plano xy, ele não deve ter componente na direção perpendicular a esse plano, que é o eixo z. Portanto, as coordenadas do vetor serão (x, y, 0).

Passo 5

Letra (d): Vetor paralelo ao plano yz.
Semelhante ao caso anterior, um vetor paralelo ao plano yz não tem componente na direção perpendicular a esse plano, que é o eixo x. Assim, as coordenadas do vetor são (0, y, z).

Passo 6

Letra (e): Vetor ortogonal ao eixo y.
Um vetor ortogonal ao eixo y deve estar perpendicular a ele. Isso significa que o produto escalar entre o vetor e o vetor unitário no eixo y deve ser zero:
v cdot j = 0 Rightarrow 0 cdot vx + 1 cdot vy + 0 cdot vz = vy = 0
Portanto, vy = 0 e as coordenadas são (x, 0, z).

Passo 7

Letra (f): Vetor ortogonal ao eixo z.
Similarmente, para o vetor ser ortogonal ao eixo z, o produto escalar com o vetor unitário nesse eixo deve ser zero:
v cdot k = 0 Rightarrow 0 cdot vx + 0 cdot vy + 1 cdot vz = vz = 0
Logo, vz = 0 e as coordenadas são (x, y, 0).

Passo 8

Letra (g): Vetor ortogonal ao plano xy.
Um vetor ortogonal ao plano xy é perpendicular a qualquer vetor no plano. Isso significa que ele é paralelo ao eixo z, ou seja, suas coordenadas são (0, 0, z).

Passo 9

Letra (h): Vetor ortogonal ao plano xz.
Da mesma forma, um vetor ortogonal ao plano xz é perpendicular a qualquer vetor nesse plano, sendo paralelo ao eixo y. Portanto, as coordenadas são (0, y, 0).

Resposta

As coordenadas do vetor genérico em R^3 para cada condição são:
a) Paralelo ao eixo x: (x,, 0,, 0)
b) Localizado sobre o eixo z: (0,, 0,, z)
c) Paralelo ao plano xy: (x,, y,, 0)
d) Paralelo ao plano yz: (0,, y,, z)
e) Ortogonal ao eixo y: (x,, 0,, z)
f) Ortogonal ao eixo z: (x,, y,, 0)
g) Ortogonal ao plano xy: (0,, 0,, z)
h) Ortogonal ao plano xz: (0,, y,, 0)

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