Determine as coordenadas do vetor genérico do
que seja:
(a) paralelo ao eixo
.
(e) ortogonal ao eixo
.
(b) localizado sobre o eixo
.
(f) ortogonal ao eixo
.
(c) paralelo ao plano
.
(g) ortogonal ao plano
.
(d) paralelo ao plano
.
(h) ortogonal ao plano
.
(a) paralelo ao eixo
(e) ortogonal ao eixo
(b) localizado sobre o eixo
(f) ortogonal ao eixo
(c) paralelo ao plano
(g) ortogonal ao plano
(d) paralelo ao plano
(h) ortogonal ao plano
Passo 1
Vamos resolver um exercício de vetores no espaço tridimensional,
. O objetivo é determinar as coordenadas de um vetor genérico que atenda a diferentes condições de paralelismo e ortogonalidade em relação aos eixos e planos coordenados. Para isso, vamos precisar entender o que significa um vetor ser paralelo ou ortogonal a um eixo ou plano específico.
Passo 2
Letra (a): Vetor paralelo ao eixo
.
Quando um vetor é paralelo ao eixo
, isso significa que ele só tem componente na direção desse eixo, ou seja, nas coordenadas
. As componentes em
e
são zero porque o vetor não se estende nesses eixos.
Passo 3
Letra (b): Vetor localizado sobre o eixo
.
Um vetor localizado no eixo
possui apenas componente nessa direção, então suas coordenadas são
. As componentes em
e
são zero, indicando que o vetor não se estende nos eixos
e
.
Passo 4
Letra (c): Vetor paralelo ao plano
.
Para um vetor ser paralelo ao plano
, ele não deve ter componente na direção perpendicular a esse plano, que é o eixo
. Portanto, as coordenadas do vetor serão
.
Passo 5
Letra (d): Vetor paralelo ao plano
.
Semelhante ao caso anterior, um vetor paralelo ao plano
não tem componente na direção perpendicular a esse plano, que é o eixo
. Assim, as coordenadas do vetor são
.
Passo 6
Letra (e): Vetor ortogonal ao eixo
.
Um vetor ortogonal ao eixo
deve estar perpendicular a ele. Isso significa que o produto escalar entre o vetor e o vetor unitário no eixo
deve ser zero:
Portanto,
e as coordenadas são
.
Passo 7
Letra (f): Vetor ortogonal ao eixo
.
Similarmente, para o vetor ser ortogonal ao eixo
, o produto escalar com o vetor unitário nesse eixo deve ser zero:
Logo,
e as coordenadas são
.
Passo 8
Letra (g): Vetor ortogonal ao plano
.
Um vetor ortogonal ao plano
é perpendicular a qualquer vetor no plano. Isso significa que ele é paralelo ao eixo
, ou seja, suas coordenadas são
.
Passo 9
Letra (h): Vetor ortogonal ao plano
.
Da mesma forma, um vetor ortogonal ao plano
é perpendicular a qualquer vetor nesse plano, sendo paralelo ao eixo
. Portanto, as coordenadas são
.
Resposta
As coordenadas do vetor genérico em
para cada condição são:
a) Paralelo ao eixo
:
b) Localizado sobre o eixo
:
c) Paralelo ao plano
:
d) Paralelo ao plano
:
e) Ortogonal ao eixo
:
f) Ortogonal ao eixo
:
g) Ortogonal ao plano
:
h) Ortogonal ao plano
: