Encontre os valores de
para que o vetor
do
seja unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de
que fazem com que o vetor
seja unitário no espaço
. Isso envolve conceitos de vetores e norma de um vetor. Vamos precisar saber como calcular a norma de um vetor e igualá-la a 1 para encontrar os valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem comprimento ou norma igual a 1. No
, a norma de um vetor
é calculada usando a fórmula:
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao nosso vetor
, temos:
Queremos que essa norma seja igual a 1, então montamos a equação:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos primeiro eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso vira:
Passo 5
Agora, vamos expandir os quadrados:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Vamos simplificar a equação subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 7
Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por 9 para tirar o denominador:
Passo 8
Agora, temos uma equação quadrática padrão:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Passo 9
Calculando o discriminante (
):
Passo 10
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Simplificando
:
Então:
Resposta
Os valores de
que tornam
um vetor unitário são: