Encontre os valores de a para que o vetor u=(a-23, a-13) do R^2 seja unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de a que fazem com que o vetor u = (a - 23, , a - 13) seja unitário no espaço R^2 . Isso envolve conceitos de vetores e norma de um vetor. Vamos precisar saber como calcular a norma de um vetor e igualá-la a 1 para encontrar os valores de a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem comprimento ou norma igual a 1. No R^2 , a norma de um vetor v = (vx, vy) é calculada usando a fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso vetor u , temos:
|u| = raiz(a - 23)^2 + (a - 13)^2
Queremos que essa norma seja igual a 1, então montamos a equação:
raiz(a - 23)^2 + (a - 13)^2 = 1

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos primeiro eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(a - 23)^2 + (a - 13)^2 = 1^2
Isso vira:
(a - 23)^2 + (a - 13)^2 = 1

Passo 5

Agora, vamos expandir os quadrados:
(a^2 - 43a + 49) + (a^2 - 23a + 19) = 1
Somando os termos semelhantes:
2a^2 - 2a + 59 = 1

Passo 6

Vamos simplificar a equação subtraindo 1 de ambos os lados:
2a^2 - 2a + 59 - 1 = 0
2a^2 - 2a - 49 = 0

Passo 7

Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por 9 para tirar o denominador:
18a^2 - 18a - 4 = 0

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática padrão:
18a^2 - 18a - 4 = 0
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 18 , b = -18 , e c = -4 .

Passo 9

Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = (-18)^2 - 4 times 18 times (-4) = 324 + 288 = 612

Passo 10

Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
a = 18 pm raiz61236
Simplificando raiz612 :
raiz612 = raiz4 times 153 = 2raiz153 = 2raiz9 times 17 = 6raiz17
Então:
a = 18 pm 6raiz1736 = 3 pm raiz176

Resposta

Os valores de a que tornam u um vetor unitário são:
a = 3 + raiz176 e a = 3 - raiz176

Exercícios relacionados