Em cada alternativa, esboce a região do
constituída pelos pontos de coordenadas
que satisfazem:
(a)
(c)
(e)
(b)
(d)
e
(f)
(a)
(c)
(e)
(b)
(d)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre esboçar regiões no plano cartesiano (ℝ²) que satisfazem certas equações e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar linhas retas, círculos e regiões delimitadas por essas figuras usando inequações. Vamos passo a passo para cada alternativa que você enviou.
Passo 2
Alternativa (a):
Vamos começar com uma equação bem direta:
. Isso significa que todos os pontos dessa região têm o x sempre igual a 2, independente do valor de y.
Teoria: Quando temos uma equação do tipo
, estamos falando de uma linha vertical no plano cartesiano passando pelo ponto
.
Como esboçar:
- Desenhe o plano cartesiano com os eixos x e y.
- Localize o ponto onde
no eixo x. - Trace uma linha reta vertical passando por
.
Passo 3
Alternativa (c):
Agora, temos a equação
. Aqui, todos os pontos têm o y sempre igual a -3, independentemente do valor de x.
Teoria: Uma equação do tipo
representa uma linha horizontal no plano cartesiano passando pelo ponto
.
Como esboçar:
- No mesmo plano cartesiano, localize o ponto onde
no eixo y. - Trace uma linha reta horizontal passando por
.
Passo 4
Alternativa (e):
Agora, temos uma desigualdade:
. Isso significa que estamos interessados em todos os pontos onde o x é menor ou igual a 2.
Teoria: A desigualdade
representa toda a região à esquerda da linha vertical
, incluindo a própria linha.
Como esboçar:
- Primeiro, desenhe a linha vertical
(como fizemos na alternativa a). - Depois, sombreie toda a área à esquerda dessa linha, indicando que todos os pontos nessa área satisfazem
.
Passo 5
Alternativa (b):
Aqui, temos a equação de um círculo. Vamos entender isso melhor.
Teoria: A equação geral de um círculo é
, onde
é o centro e
é o raio.
Aplicando à nossa equação:
-
, → Centro em (1, -2) -
→
Como esboçar:
- No plano cartesiano, marque o centro do círculo em (1, -2).
- Com um compasso ou estimando, desenhe um círculo com raio 2 ao redor desse ponto.
Passo 6
Alternativa (d):
e
Agora temos duas desigualdades juntas:
e
. Vamos ver o que isso significa.
Teoria:
-
: Todos os pontos à esquerda da linha vertical , mas sem incluir a linha. -
: Todos os pontos acima ou na linha horizontal .
Quando temos “e” entre desigualdades, queremos a interseção das regiões.
Como esboçar:
- Desenhe a linha vertical
com uma linha tracejada (porque não inclui ). - Desenhe a linha horizontal
com uma linha contínua (porque inclui ). - A região que satisfaz ambas as condições está acima de y = -3 e à esquerda de x = 2.
Passo 7
Alternativa (f):
, com
Por último, temos a equação de um círculo com restrições adicionais.
Teoria:
- A equação
representa um círculo com centro na origem (0,0) e raio . - As condições
e limitam a região ao primeiro quadrante (onde tanto x quanto y são positivos).
Aplicando à nossa equação:
-
→ - Centro em (0,0)
- Apenas a parte do círculo no primeiro quadrante.
Como esboçar:
- Desenhe o círculo completo com raio 2 centrado na origem.
- Shade apenas a parte do círculo onde
e , ou seja, a seção superior direita.
Resposta
Resumindo, as regiões no plano cartesiano são:
- (a) Uma linha vertical em
. - (c) Uma linha horizontal em
. - (e) A área à esquerda da linha vertical
, incluindo a linha. - (b) Um círculo com centro em (1, -2) e raio 2.
- (d) A região acima de
e à esquerda de . - (f) A parte do círculo de raio 2 centrado na origem que está no primeiro quadrante
.