Em cada alternativa, esboce a região do R^2 constituída pelos pontos de coordenadas (x, y) que satisfazem:
(a) x=2
(c) y=-3
(e) x <= 2
(b) (x-1)^2+(y+2)^2=4
(d) x<2 e y >=-3
(f) x^2+y^2=4, x, y >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre esboçar regiões no plano cartesiano (ℝ²) que satisfazem certas equações e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar linhas retas, círculos e regiões delimitadas por essas figuras usando inequações. Vamos passo a passo para cada alternativa que você enviou.

Passo 2

Alternativa (a): x = 2
Vamos começar com uma equação bem direta: x = 2. Isso significa que todos os pontos dessa região têm o x sempre igual a 2, independente do valor de y.
Teoria: Quando temos uma equação do tipo x = a, estamos falando de uma linha vertical no plano cartesiano passando pelo ponto x = a.
Como esboçar:
  • Desenhe o plano cartesiano com os eixos x e y.
  • Localize o ponto onde x = 2 no eixo x.
  • Trace uma linha reta vertical passando por x = 2.

Passo 3

Alternativa (c): y = -3
Agora, temos a equação y = -3. Aqui, todos os pontos têm o y sempre igual a -3, independentemente do valor de x.
Teoria: Uma equação do tipo y = b representa uma linha horizontal no plano cartesiano passando pelo ponto y = b.
Como esboçar:
  • No mesmo plano cartesiano, localize o ponto onde y = -3 no eixo y.
  • Trace uma linha reta horizontal passando por y = -3.

Passo 4

Alternativa (e): x <= 2
Agora, temos uma desigualdade: x <= 2. Isso significa que estamos interessados em todos os pontos onde o x é menor ou igual a 2.
Teoria: A desigualdade x <= a representa toda a região à esquerda da linha vertical x = a, incluindo a própria linha.
Como esboçar:
  • Primeiro, desenhe a linha vertical x = 2 (como fizemos na alternativa a).
  • Depois, sombreie toda a área à esquerda dessa linha, indicando que todos os pontos nessa área satisfazem x <= 2.

Passo 5

Alternativa (b): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4
Aqui, temos a equação de um círculo. Vamos entender isso melhor.
Teoria: A equação geral de um círculo é (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h, k) é o centro e r é o raio.
Aplicando à nossa equação:
  • h = 1, k = -2 → Centro em (1, -2)
  • r^2 = 4 r = 2
Como esboçar:
  • No plano cartesiano, marque o centro do círculo em (1, -2).
  • Com um compasso ou estimando, desenhe um círculo com raio 2 ao redor desse ponto.

Passo 6

Alternativa (d): x < 2 e y >= -3
Agora temos duas desigualdades juntas: x < 2 e y >= -3. Vamos ver o que isso significa.
Teoria:
  • x < 2: Todos os pontos à esquerda da linha vertical x = 2, mas sem incluir a linha.
  • y >= -3: Todos os pontos acima ou na linha horizontal y = -3.
Quando temos “e” entre desigualdades, queremos a interseção das regiões.
Como esboçar:
  • Desenhe a linha vertical x = 2 com uma linha tracejada (porque não inclui x = 2).
  • Desenhe a linha horizontal y = -3 com uma linha contínua (porque inclui y = -3).
  • A região que satisfaz ambas as condições está acima de y = -3 e à esquerda de x = 2.

Passo 7

Alternativa (f): x^2 + y^2 = 4, com x, y >= 0
Por último, temos a equação de um círculo com restrições adicionais.
Teoria:
  • A equação x^2 + y^2 = r^2 representa um círculo com centro na origem (0,0) e raio r.
  • As condições x >= 0 e y >= 0 limitam a região ao primeiro quadrante (onde tanto x quanto y são positivos).
Aplicando à nossa equação:
  • r^2 = 4 r = 2
  • Centro em (0,0)
  • Apenas a parte do círculo no primeiro quadrante.
Como esboçar:
  • Desenhe o círculo completo com raio 2 centrado na origem.
  • Shade apenas a parte do círculo onde x >= 0 e y >= 0, ou seja, a seção superior direita.

Resposta

Resumindo, as regiões no plano cartesiano são:
  • (a) Uma linha vertical em x = 2.
  • (c) Uma linha horizontal em y = -3.
  • (e) A área à esquerda da linha vertical x = 2, incluindo a linha.
  • (b) Um círculo com centro em (1, -2) e raio 2.
  • (d) A região acima de y = -3 e à esquerda de x = 2.
  • (f) A parte do círculo de raio 2 centrado na origem que está no primeiro quadrante x, y >= 0.

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