Encontre o ponto P do R^2 que está sobre o eixo x e é equidistante dos pontos P1(-12,-2) e P2(3, 52).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um ponto P no plano R^2 que está sobre o eixo x e que está a mesma distância dos pontos P1(-12,-2) e P2(3, 52) . Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer ponto que está sobre o eixo x tem coordenadas da forma (x, 0) , porque a coordenada y é zero. Então, vamos chamar nosso ponto P de (x, 0) .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para calcular a distância de P para P1 e de P para P2 , e igualar essas distâncias.
A fórmula da distância entre (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Então, temos:
d(P, P1) = raiz(x - (-12))^2 + (0 - (-2))^2
d(P, P2) = raiz(x - 3)^2 + (0 - 52)^2

Passo 4

Como P está equidistante dos dois pontos, igualamos as duas distâncias:
raiz(x + 12)^2 + 2^2 = raiz(x - 3)^2 + (52)^2

Passo 5

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x + 12)^2 + 4 = (x - 3)^2 + 254

Passo 6

Agora, vamos expandir os quadrados:
x^2 + x + 14 + 4 = x^2 - 6x + 9 + 254

Passo 7

Simplificando os termos:
x^2 + x + 174 = x^2 - 6x + 614

Passo 8

Subtraímos x^2 de ambos os lados:
x + 174 = -6x + 614

Passo 9

Vamos juntar os termos semelhantes:
x + 6x = 614 - 174
7x = 444
7x = 11

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 7 para encontrar x :
x = 117

Resposta

O ponto P que está sobre o eixo x e é equidistante dos pontos P1 e P2 é (117, , 0) .

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