Encontre todos os pontos do R^3 que estão a 3 unidades de comprimento do ponto P(-2, 15, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa encontrar todos os pontos no espaço tridimensional ( R^3) que estão exatamente a 3 unidades de distância do ponto P(-2, 15, 2). Para isso, vamos usar a teoria de distância entre pontos no espaço e a equação da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se tivermos dois pontos P(x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2), a distância d entre eles é dada pela fórmula:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 3

No nosso caso, queremos todos os pontos Q(x, y, z) que estão a 3 unidades de distância do ponto P(-2, 15, 2). Então, vamos substituir na fórmula:
3 = raiz(x - (-2))^2 + (y - 15)^2 + (z - 2)^2

Passo 4

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
3^2 = (x + 2)^2 + (y - 15)^2 + (z - 2)^2
9 = (x + 2)^2 + (y - 15)^2 + (z - 2)^2

Passo 5

Essa equação representa uma esfera no espaço tridimensional com centro no ponto P(-2, 15, 2) e raio 3. Portanto, todos os pontos (x, y, z) que satisfazem essa equação estão a 3 unidades de distância de P.

Resposta

Todos os pontos (x, y, z) em R^3 que satisfazem a equação
(x + 2)^2 + (y - 15)^2 + (z - 2)^2 = 9
estão a 3 unidades de distância do ponto P(-2, 15, 2).

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