Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(-2,1,0), B(2,2,-3) e C(0,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos calcular o perímetro de um triângulo cujo vértices são os pontos A(-2,1,0), B(2,2,-3) e C(0,1,0). O conteúdo envolvido aqui é a geometria espacial, especificamente o cálculo de distâncias entre pontos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de distância entre dois pontos no espaço 3D e depois somar as distâncias dos três lados do triângulo para encontrar o perímetro.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula para a distância d entre dois pontos P(x1,y1,z1) e Q(x2,y2,z2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras estendido para três dimensões.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos A e B. As coordenadas de A são (-2,1,0) e de B são (2,2,-3). Aplicando a fórmula:
AB = raiz(2 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 + (-3 - 0)^2 = raiz(4)^2 + (1)^2 + (-3)^2 = raiz16 + 1 + 9 = raiz26

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos B e C. As coordenadas de B são (2,2,-3) e de C são (0,1,0). Aplicando a fórmula:
BC = raiz(0 - 2)^2 + (1 - 2)^2 + (0 - (-3))^2 = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + (3)^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14

Passo 5

Por último, vamos calcular a distância entre os pontos C e A. As coordenadas de C são (0,1,0) e de A são (-2,1,0). Aplicando a fórmula:
CA = raiz(-2 - 0)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 0)^2 = raiz(-2)^2 + 0^2 + 0^2 = raiz4 + 0 + 0 = raiz4 = 2

Resposta

Agora, somando as três distâncias para encontrar o perímetro P:
P = AB + BC + CA = raiz26 + raiz14 + 2 approx 5,10 + 3,74 + 2 = 10,84
Então, o perímetro do triângulo é aproximadamente 10,84 unidades.

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